Lógica Matemática – Relação de Equivalência (exercício 1)

Seja uma relação $$p$$, que é reflexiva e transitiva no conjunto $$A$$. Para $$a,b\in A$$, definimos $$a\sim b$$ se, e somente se, $$apb\land bpa$$.

a) Mostre que $$\sim$$ é uma relação de equivalência em $$A$$.

b) Para $$[a], [b]\in A/\sim$$, define-se $$[a]p'[b]$$ se, e somente se, $$apb$$. Mostre que esta definição independe de $$a$$ e de $$b$$; isto é, se $$a’\in [a]$$, $$b’\in [b]$$ e $$apb$$, é certo que $$a’pb’$$.

c) Mostre que $$p’$$ é reflexiva e transitiva. Depois, mostre que, se $$[a]p'[b]$$ e $$[b]p'[a]$$, é fato que $$[a]=[b]$$.

Solução:

a)

$$a\sim a$$: Com efeito, é verdade a afirmação $$apa$$, dado que, por hipótese, $$p$$ é reflexiva. Por definição, $$a\sim a \equiv [apa\land apa]\equiv [apa]$$.

$$a\sim b \longrightarrow b\sim a$$: Dado que $$a\sim b\equiv [apb\land bpa]\equiv [bpa\land apb]$$, este último é equivalente à afirmação de que $$b\sim a$$. O que demonstra a afirmação.

$$a\sim b$$ e $$b\sim c\longrightarrow a\sim c$$. Das hipótese, tem-se $$[apb\land bpa]$$ e $$[bpc\land cpb]$$. Das primeiras afirmações de cada uma das hipóteses, é certo que $$[apb\land bpc]$$. Das segundas afirmações das hipóteses, é fato que $$[bpa\land cpb]\equiv [cpb\land bpa]$$. As duas afirmações obtidas equivalem, juntas, à afirmação de que $$a\sim b$$.

Os três itens atestam que a relação $$\sim$$ é de equivalência.

b)

Por hipótese, $$a’\in [a]$$, ou seja, $$a’\sim a\equiv [apa’ \land a’pa]$$. Analogamente, temos $$b\sim b’\equiv [bpb’\land b’pb]$$.

Partindo de $$[a’]p'[b’]$$, tem-se que $$a’pb’$$. Com a hipótese, temos $$a’pb’\land b’pb$$. Porque a relação $$p$$ é transitiva, é certo que $$a’pb$$. Ademais, da hipótese, também é válido que $$ap’a$$, então, novamente pela transitividade, $$apa’\land a’pb\equiv apb\equiv [a]p'[b]$$. Mostramos que, $$[a]p'[b]\Longleftrightarrow [a’]p'[b’]$$, partindo de $$a\sim a’$$ e $$b\sim b’$$.

c)

Por hipótese, é correta a sentença $$apa$$. Então, por definição de $$p’$$, é correta a sentença $$[a]p'[a]$$.

Sejam verdadeiras as sentenças $$[a]p'[b]$$ e $$[b]p'[c]$$, então, por definição de $$p’$$, é certo que $$apb$$ e $$bpc$$. Pela transitividade de $$p$$, isto resulta em $$apc\equiv [a]p'[c]$$.

Dado que $$[a]p'[b]\land [b]p'[a]$$, é fato que $$[a]=[b]$$.

Com efeito, a fim de que $$[a]=[b]$$, é necessário e suficiente que $$a\sim b \equiv [apb\land bpa]$$.

Esta última conjunção lógica é exatamente a hipótese inicial, o que comprova nossa afirmação.