Os números 258 e 179 têm seus algarismos escritos em ordem crescente. Os números 558 e 496 não têm seus algarismos escritos em ordem crescente. Quantos são os números de três algarismos no qual esses algarismos aparecem em ordem crescente?
a) 84
b) 120
c) 504
d) 720
Solução:
Façamos um exemplo.
Números iniciados com o algarismo 9 podem ser formados da seguinte forma, seguindo o critério requerido:
- 98_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0,1,2…,7} – isto perfaz um total de 8 possibilidades
- 97_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0,1,2…,6} – isto perfaz um total de 7 possibilidades
- 92_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0,1} – isto perfaz um total de 6 possibilidades
- 91_ , com o último dígito sendo elemento do conjunto {0} – isto perfaz um total de 1 possibilidade
Observamos, portanto, existirem, para números sob o critério do enunciado, 8+7+6+…+1 possibilidades. Note que, para calcular esta soma, podemos utilizar a fórmula da soma de uma Progressão Aritmética, onde $$a_{1}=1$$ e $$a_{8}=8$$, fornecendo o resultado: $$S_{8}=8\cdot\frac{8-1}{2}=28$$.
Os próximos números seguirão o mesmo padrão do enunciado, e cada um terá um total $$S_{n}$$ de possibilidades. O último é o número iniciado pelo algarismo 2. ($$S_{7}, S_{6},…,S_{2}$$).
Calculando os valores, teremos: $$S_{7}=21$$ , $$S_{6}=15$$, $$S_{5}=10$$, $$S_{4}=6$$. $$S_{3}=3$$ e $$S_{2}= 1$$.
Finalmente, somamos estes 8 resultados e obtemos o valor desejado. \[28+21+15+10+6+3+1=84\].
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