Resolução – FUVEST (2017) – Matemática (1ª Fase) (continuação 2)

Questão Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, a) 4 horas e 50 minutos. b) 5 horas e 20 minutos. c) 5 horas e 50 minutos d) 6 horas e 20 e) 6 horas e 50 minutos. Solução: https://www.youtube.com/watch?v=wpJWHRlUI1I

Questão

Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas $$(x_1, y_1)$$ e $$(x_2, y_2)$$. O valor de $$(x_1+y_1 )^{2}$$+$$(x_2+y_2 )^{2}$$ é igual a a)5/2 b)7/2 c)9/2 d)11/2 e)13/2 Solução: https://www.youtube.com/watch?v=UCufpbwpuZo

Questão

Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: $$V(t) = log_{2}(5 + 2 sen(\pi t))$$, $$0 ≤ t ≤ 2$$, em que $$t$$ é medido em horas e $$V(t)$$ é medido em m³ . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante a) t = 0,4 b) t = 0,5 c) t = 1 d) t = 1,5 e) t = 2 Solução: Da física, é preciso recordar-se de que, quando a pressão é máxima, o volume é mínimo, sob condição da massa constante. Isto pode ser visto, por exemplo, pela definição de pressão $$P=\frac{m}{V}$$. Buscamos, portanto, o valor de $$t$$, para o qual a função $$V(t)$$ é mínima. 1) Primeiro, olhamos para o $$log_{2}(p(t))$$, sendo $$p(t)=5+2\cdot sen(\pi t)$$. A função logarítmica é crescente neste caso, uma vez que sua base é maior que 1. Então, para acharmos o mínimo deste logaritmo, basta que encontremos o valor mínimo de $$p(t)$$. 2) A função $$p(t)=5+2\cdot sen(\pi t)$$ tem seu valor mínimo, quando $$sen(\pi t)=-1$$. Lembrando que $$-1\leq sen(x)\leq 1$$, para qualquer $$x$$ no domínio. Portanto o valor mínimo de $$p(t)$$ é $$5+2\cdot (-1)=3$$. Recorrendo ao ciclo trigonométrico, observamos que $$sen(\pi\cdot\frac{3}{2})=-1$$, no intervalo considerado. Deste modo, $$t=\frac{3}{2}=1,5$$. Resposta: d)