Resolução – UERJ 2018 – 2° EQ – Matemática (continuação 2)

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Questão

Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é: a) 3/5 b) 2/3 c) 1/5 d) 1/2 Solução: https://youtu.be/lacSUzX-tHo?t=13s

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Questão

Considere a sequência ($$a_{n}$$) = (2, 3, 1, − 2, …), n ∈ N*, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é: \[a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}\]. O último termo dessa sequência é: a) 1 b) 2 c) − 1 d) − 2 Solução: Observe o exemplo a seguir: $$a_{5}=a_{4}-a_{3}$$ $$a_{4}=a_{3}-a_{2}$$ $$a_{2}=3$$. \[a_{5}=a_{4}-a_{3}=a_{3}-a_{2}-a_{3}=-a_{2}=-3\]. Podemos generalizar esta fórmula. $$a_{n-1}=a_{n-2}-a_{n-3}$$ \[a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}\]. Aplicando a mesma fórmula, obtém-se: \[a_{n}=-a_{n-3}=-(-a_{n-6})=-a_{n-9}…=(-1)^{r}\cdot a_{n-3r}\]. Isto significa que podemos reduzir qualquer termo desconhecido a qualquer termo conhecido.   Conhecemos os termos $$a_{1},a_{2},a_{3}$$ e $$a_{4}$$, apresentados no enunciado. Para $$n=70$$, basta encontrarmos um $$r$$ cuja expressão reduz-se a um dos termos conhecidos. Podemos reduzir ao $$a_{1}$$, conforme a expressão a seguir: \[70-3r = 1\Longrightarrow -3r=-69\Longrightarrow r=69/3=23\]. Finalmente, com $$n=70$$ e $$r=23$$, temos: \[a_{70}=(-1)^{23}\cdot a_{70-3\cdot 23}=-a_{1}=-2\]. Resposta: d)

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