Questão
(Propriedades dos Homomorfismos) Seja os grupos $$G$$ e $$H$$, com suas respectivas operações de produto (lei da composição), e seja o homomorfismo $$\phi G\rightarrow H$$. Prove as seguintes propriedades:
i) $$\phi (l_{G})=l_{H}$$, sendo $$l$$ o elemento neutro de cada grupo.
ii) $$\phi (a_{1}\cdot …\cdot a_{n})=\phi(a_{1})\cdot …\cdot a_{n})$$, $$a_{i}\in G$$.
iii) $$\phi(x^{-1})=(\phi(x))^{-1}$$.
iv) $$\phi(x)=\phi(y) \Longleftrightarrow xy^{1}\in ker(\phi)$$, para $$x,y\in G$$.
Solução:
i) Seja $$x\in G$$. Pela definição do homomorfismo, $$\phi (x)=\phi (x\cdot 1_{G})=\phi (x)\cdot\phi(1_{G})$$.
Pela existência do elemento neutro em $$H$$ e pela lei do cancelamento, temos:
\[\phi(x)\cdot 1_{H}=\phi(x)=\phi(x)\cdot\phi (1_{G}\Longrightarrow 1_{H}=\phi(1_{G})\].
ii) Iniciamos com $$n=2$$.
Pela própria definição do Homomorfismo, é fato que
\[\phi (a_{1}\cdot a_{2})=\phi(a_{1})\cdot\phi (a_{2})\].
Por indução, assumimos a hipótese válida para $$n$$ e provamos que a hipótese é válida para $$n+1$$.
\[\phi(a_{1}\cdot ….\cdot a_{n})=\phi(a_{1})\cdot …\cdot\phi(a_{n}).\]
Multiplicando os dois lados por $$\phi(a_{n+1})$$, temos a sequência da demonstração a seguir:
\[\phi(a_{a}\cdot ….\cdot a_{n})\cdot\phi(a_{n+1})=\phi(a_{a}\cdot ….\cdot a_{n}\cdot a_{n+1})\].
E, do outro lado da expressão, temos:
\[\phi(a_{1})\cdot …\cdot\phi(a_{n})\cdot\phi(a_{n+1})\].
Completando a demonstração.
iii) Seja $$x\in G$$. Pela propriedade do homomorfismo, $$\phi(x)\cdot\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=\phi(1_{G})=1_{H}$$. Por outro lado, temos $$\phi(x)\cdot(\phi(x))^{-1}=1_{G}=\phi(x)\cdot\phi(x^{-1})$$. Pela lei do cancelamento, tem-se $$\phi(x^{-1})=(\phi(x))^{-1}$$.
iv)
Se $$xy^{-1}\in kar(\phi)$$, então $$\phi(x)\cdot\phi (y^{-1})=\phi (xy^{1})=1_{H}$$.
Assim, obtemos $$\phi(x)\cdot(\phi(y))^{-1}=1_{H}\Longrightarrow \phi(x)=\phi(y)$$.
A demonstração recíproca é análoga.
Questão
Sejam os grupos $$G,H$$ e $$S$$, seja o homomorfismo $$\phi: G\rightarrow H$$, e seja o homomorfismo $$\psi: H\rightarrow S$$. Prove que $$\psi\circ\phi$$ (composição) é um homomorfismo.
Solução:
Como ψ e φ são funções (estão bem definidas), então sua composição é uma função (está bem definida). Basta provarmos que a definição de homomorfismo é válida.
Sejam $$x,y\in G$$. De fato, $$\phi(x\cdot y)=\phi(x)\cdot\phi(y)$$. Além disso, $$\psi(phi(x)\cdot\phi(y))=\psi(\phi(x\cdot y)). Deste modo, temos a demonstração:
\[(\psi\circ\phi)(x\cdot y)=\psi(\phi(x\cdot y))=\psi(\phi(x)\cdot\phi(y))=\psi(\phi(x))\cdot\psi(\phi(y))=(\psi\circ\phi)(x)\cdot(\psi\circ\phi)(y)\]
Observação: O núcleo de (ψ○φ) contém o núcleo de φ. Com efeito, seja $$x\in ker(\phi)$$, então $$\phi(x)=1_{H}\Longrightarrow \psi(1_{H})=1_{S}$$. Por outro lado, nem todo elemento do núcleo da composição faz parte do núcleo de φ.
De fato, pode existir $$\phi(x)\neq 1_{H}$$, com $$\psi(\phi(x))=1_{S}$$. Assim, $$x\in ker(\psi\circ\phi)$$, mas $$x\notin ker(\phi)$$.
