A figura representa, de forma simplificada, parte de um sistema de engrenagens que tem a função de fazer girar duas hélices, $$H_{1}$$ e $$H_{2}$$. Um eixo ligado a um motor gira com velocidade angular constante e nele estão presas duas engrenagens, A e B. Esse eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição 1 ou 2. Na posição 1, a engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, na posição 2, a engrenagem A acopla-se à engrenagem D. Com as engrenagens B e C acopladas, a hélice $$H_{1}$$ gira com velocidade angular constante $$\omega _{1}$$ e, com as engrenagens A e D acopladas, a hélice $$H_{2}$$ gira com velocidade angular constante $$\omega _{2}$$.
Considere $$r_{A}$$, $$r_{B}$$, $$r_{C}$$ e $$r_{D}$$ os raios das engrenagens A, B, C e D, respectivamente. Sabendo que $$r_{B} = 2\cdot r_{A}$$ e que $$r_{C} = r_{D}$$, é correto afirmar que a relação $$\frac{\omega _{1}}{\omega _{2}}$$ é igual a
(A) 1,0.
(B) 0,2.
(C) 0,5.
(D) 2,0.
(E) 2,2.
Confira nossa lista de Exercícios de Movimento Circular Uniforme
Solução:
A velocidade angular da engrenagem A ($$\omega _{A}$$) é igual a da engrenagem B ($$\omega _{B}$$), pois estão ligadas ao mesmo eixo.
Na posição 1:
\[v_{B} = v_{C} \longrightarrow \omega _{B}\cdot r_{B} = w_{1}\cdot r_{C} \longrightarrow \omega _{B} = \frac{\omega _{1}\cdot r_{C}}{r_{B}}\,\,\,\, (I)\]
Na posição 2:
\[v_{A} = v_{D} \longrightarrow \omega _{A}\cdot r_{A} = w_{2}\cdot r_{D} \longrightarrow \omega _{A} = \frac{\omega _{2}\cdot r_{D}}{r_{A}}\,\,\,\, (II)\]
Agora podemos igualar as equações (I) e (II):
\[\frac{\omega _{1}\cdot r_{C}}{r_{B}} = \frac{\omega _{2}\cdot r_{D}}{r_{A}} \longrightarrow \frac{\omega _{1}}{\omega _{2}} = \frac{r_{B}\cdot r_{D}}{r_{A}\cdot r_{C}} \longrightarrow \frac{\omega _{1}}{\omega _{2}} = \frac{2\cdot r_{A}\cdot r_{D}}{r_{A}\cdot r_{D}} \longrightarrow \frac{\omega _{1}}{\omega _{2}} = 2\]
Resposta: letra D.
