Questão 7
O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas.
a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres.
b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a 49 anos.
Solução: a) Calculemos as médias ponderadas das idades de homens e mulheres. Observando no gráfico, sabemos o número de homens e mulheres em cada idade indicada.
21 anos – (5 mulheres , 4 homens)
22 anos – (2 mulheres, 5 homens)
23 anos – (3 mulheres, 4 homens)
24 anos – (3 mulheres, 1 homem)
25 anos – (1 mulher, 2 homens)
Total – (14 mulheres, 16 homens)
\[M_{mulheres}=\frac{5\cdot 21 + 2\cdot 22 + 3\cdot 23 + 3\cdot 24+1\cdot 25}{14}=22,5\]
\[M_{homens}=\frac{4\cdot 21 + 5\cdot 22 + 4\cdot 23 + 1\cdot 24+2\cdot 25}{16}=22,5\]
b)
Há 14 mulheres e 16 homens, portanto é possível obter $$14\cdot 16 = 224$$duplas de mulheres e homens, para o cálculo da soma de suas idades.
Dentre estas duplas todas, as que somam 49 anos são da forma (mulher de 25 + homem de 24) ou (homem de 25 + mulher de 24).
Para o primeiro caso, há $$3\cdot 2 = 6$$ possibilidades. Para o segundo, há $$1\cdot 1 =1$$ possibilidade, perfazendo 7 possibilidades.
\[p=\frac{7}{224}=\frac{1}{32}\]
Questão 8
Considere a função $$f(x)=|2x-4|+x-5$$, definida para todo número real $$x$$.
a) Esboce o gráfico de $$=f(x)$$ no plano cartesiano para $$-4\geq x\geq 4$$.
b) Determine os valores dos números reais $$a$$ e $$b$$ para os quais a equação $$log_{a}(x+b)=f(x)$$ admite as soluções $$x_{1}=-1$$ e $$x_{2}=6$$.
Solução:
a)
b)
\[log_{a}(b-1)=|2\cdot (-1)-4|+x-5=|-6|-1-5=0\longrightarrow b-1=1=a^{0}\longrightarrow b=2\].
\[log_{a}(6+b)=|2\cdot 6 – 4|+6-5=8+1=9\longrightarrow 6+b=8=a^{9}\longrightarrow a=2^{3/9}=2^{1/3}\].
Questão 9
Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos a,b e c e os ângulos α, β e γ.
a) Suponha que a sequência (α, β ,γ) é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida do ângulo β.
b) Suponha que a sequência (a,b,c) é uma progressão geométrica (PG) de razão $$q=\sqrt{2}$$. Determine o valor de tan(β).
Solução:
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