Exercício
Seja $$d: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}$$ uma função tal que $$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$$ e $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(z,y)$$. Prove que $$d$$ é uma métrica.
Solução:
a) Provaremos que $$d(x,y)>0$$, para $$x\neq y$$. De fato, utilizando as duas propriedades do enunciado, para $$z=x$$, temos:
\[0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(x,y)\Longrightarrow 0\leq 2\cdot d(x,y)\Longrightarrow 0\leq d(x,y)\].
Por hipótese da primeira propriedade, conclui-se que $$d(x,y)>0$$.
b) Usaremos duas vezes a desigualdade da hipótese, para provarmos que a distância é simétrica, ou seja, $$d(x,y)=d(y,x).
Com efeito, tomando $$y=x$$, temos $$d(x,z)\leq d(x,x)+d(z,x)=d(z,x)$$. Trocando a ordem dos termos na desigualdade e fazendo com que $$y=z$$, também teremos $$d(z,x)\leq d(z,z)+d(z,x)=d(z,x)$$.
Com as duas desigualdades, temos a expressão $$d(x,z)\leq d(z,x)\leq d(x,z)$$. Portanto $$d(x,z)=d(z,x)$$. Aplicando este resultado à desigualdade do enunciado, ter-se-á a desigualdade triangular.
Referência:
E.L. Lima – Espaços Métricos
