Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)

Questão

Mostre que, para uma sequência $$(x_{n})$$, em um espaço vetorial munido de produto interno,

se $$||x_{n}||\longrightarrow ||x||$$ e $$<x_{n},x>\longrightarrow <x,x>$$, é válida a convergência $$x_{n}\longrightarrow x$$.

Demonstração:

Observa-se que $$||x_{n}||\longrightarrow ||x|| \Longleftrightarrow ||x_{n}||^{2}\longrightarrow ||x||^{2}$$. Precisamos mostrar a sentença a seguir:

\[\lim_{n\to\infty}||x_{n}-x||=0\].

Para tanto, assumamos que $$\lim_{n\to\infty} ||x_{n}-x||=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} ||x_{n}-x||^{2}=0$$.

Por definição, $$||x_{n}-x||^{2}=<x_{n}-x;x_{n}-x>= <x_{n};x_{n}>+<x;x>-<x_{n};x>-<x;x_{n}>$$. Note também que $$\lim_{n\to\infty} \overline{a_{n}}=\overline{\lim_{n\to\infty}a_{n}}$$, para uma sequência numérica, definida nos números complexos. Da hipótese, $$\lim_{n\to\infty}-<x_{n};x>=-<x;x>=\lim_{n\to\infty}-\overline{<x;x_{n}>}$$Calculamos a sentença a seguir:

\[\lim_{n\to\infty}||x_{n}-x||^{2}=\lim_{n\to\infty}<x_{n}-x;x_{n}-x>=\]

\[\lim_{n\to\infty}<x_{n};x_{n}>+<x;x>\lim_{n\to\infty}-<x_{n};x>\lim_{n\to\infty}-<x;x_{n}>=\]

\[2<x,x>-<x,x>-<x,x>=0\].

Daqui, segue que $$x\longrightarrow x$$.