• $$ax-y=|a|$$
• $$(4-5a²)x+ay=1$$.

admite infinitas soluções?

Confira outras questões dessa prova.

a) 1.
b) 2.
c) −1.
d) −2.

Gabarito: c)
Solução (no vídeo a seguir):

O post Unicamp 2023 – 1ª Fase – Q. 53 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

O sistema
$$\left\{\begin{array}{l} x + my = 4 \\ 3x+y = k \\ \end{array}\right. $$
é possível e determinado. Temos, então, sempre
a) m = 0   b) m ≠ k   c) m = 1/3   d) m ≠ 1/3   e) m + k = 0 
Solução

Determine k para que o sistema seja possível e determinado. $$\left\{\begin{array}{l} 2x+ky=5 \\ kx+2y=7\\ \end{array}\right. $$
Solução  

(UNICAMP – 2015) Considere o sistema linear nas variáveis x,y e z. $$\left\{ \begin{array}{c} x+2y+3z=20\\7x+8y-mz=26 \end{array} \right.$$ onde m é um número real. Sejam a < b < c números inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, b, c) é uma solução desse sistema. O valor de m é igual a
a) 3.   b) 2.   c) 1.   d) 0.
Solução

Dado o sistema de equações lineares S:
$$\left\{\begin{array}{l} x+2y+cz=1 \\ y+z=2\\ 3x+2y+2z=-1, \end{array}\right.$$ em que c ∈ R, determine:
a) a matriz A dos coeficientes de S e o determinante de A;
b) o coeficiente c, para que o sistema admita uma solução única.
Solução

(UNICAMP 2021) Para qual valor de 𝑎 a equação matricial
\[\begin{pmatrix} a & -1\\a-2 & a\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\a-4 \end{pmatrix}\] não admite solução?
a) 1.   b) 0.   c) -1.   d) -2.
Gabarito: d)
Solução

(UNICAMP – 2023) Considere o sistema
$$\left\{\begin{array}{c} x+py=q \\ 2x-z=p\\ x+y+z=3\\ \end{array}\right. $$
a) Para p = q =1, resolva o sistema.
b) Determine os valores de p, q para que o sistema tenha infinitas soluções.
Solução

(UNICAMP 2022) Considere a matriz \[A=\left[\begin{array}{cc} 1 & k\\ 3 & k^{2} \end{array}\right]\] e seja $$𝐵 = 𝐴 + 𝐴^{𝑇}$$, onde $$𝐴^{𝑇}$$ é a transposta da matriz 𝐴. Sobre o sistema
\[B \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2021\\ 2022 \end{array}\right)\], é correto afirmar que:
a) se 𝑘 = 0, o sistema não tem solução.
b) se 𝑘 = −1, o sistema tem infinitas soluções.
c) se 𝑘 = −1, o sistema não tem solução.
d) se 𝑘 = 3, o sistema tem infinitas soluções.

Gabarito: c)
Solução (Clique aqui)

O post Discussão de Sistemas Lineares – Exercícios resolvidos apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$\left\{\begin{array}{l}
x+2y+cz=1 \\
y+z=2\\
3x+2y+2z=-1,
\end{array}\right.$$

em que c ∈ R, determine:

a) a matriz A dos coeficientes de S e o determinante de A;
b) o coeficiente c, para que o sistema admita uma solução única.

Solução:
a) A matriz é $$A=\left[\begin{array}{cc}
1 &2&c\\
0&1&1\\
3&2&2
\end{array}\right] $$

Utilizando a regra de Sarrus, procedemos do seguinte modo:

\[\left[\begin{array}{cc}
1 &2&c\\
0&1&1\\
3&2&2
\end{array}\right] \begin{array}{cc} 1&2\\0&1\\3&2\end{array}\]

E o determinante de $$A$$ é

\[1\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 1\cdot 3 + c\cdot 0\cdot 2 – (c\cdot 1\cdot 3 + 1\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 0\cdot 2)=\]

\[8-3c-2 = 6-3c.\]

b) A fim de que o sistema tenha solução única, o determinante deve ser diferente de zero, isto é:

\[6-3c\neq 0 \Longleftrightarrow 3c\neq 6 \Longleftrightarrow c \neq 2.\]

O post Sistemas Lineares – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$\left\{\begin{array}{l}
2x+ky=5 \\
kx+2y=7\\
\end{array}\right. $$

Solução:
Devemos calcular o determinante da matriz em função do parâmetro K e descobrir os valores para os quais o determinante é diferente de zero, a fim de que o sistema tenha apenas uma solução (S. Possível e Determinado).

$$ det\left[\begin{array}{cc}
2 & k\\
k& 2
\end{array}\right] = 2\cdot 2 – k\cdot k = 2-k^{2}$$.

Teremos $$4-k^{2}\neq 0 \Longleftrightarrow k \neq\pm \sqrt{4} = \pm 2$$.

O post Sistemas Lineares – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$\left\{\begin{array}{l}
x + my = 4 \\
3x+y = k \\
\end{array}\right. $$

é possível e determinado. Temos, então, sempre

a) m = 0
b) m ≠ k
c) m = 1/3
d) m ≠ 1/3
e) m + k = 0

Solução:
Calculamos o determinante da matriz do sistema em função dos parâmetros. A fim de que o sistema tenha uma única solução, o determinante deve ser diferente de 0.

$$ det\left[\begin{array}{cc}
1 & m\\
3& 1
\end{array}\right] = 1 – 3m$$.

Daqui, temos $$1-3m\neq 0 \Longleftrightarrow m \neq 1/3$$.

O post Sistemas Lineares – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Para p = q =1, resolva o sistema.
b) Determine os valores de p, q para que o sistema tenha infinitas soluções.

Solução:

O post UNICAMP 2023 – 2ª Fase – Sistemas Lineares apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[A=\left[\begin{array}{cc} 1 & k\\ 3 & k^{2} \end{array}\right]\]

e seja $$𝐵 = 𝐴 + 𝐴^{𝑇}$$, onde $$𝐴^{𝑇}$$ é a transposta da matriz 𝐴.

Sobre o sistema

\[B \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2021\\ 2022 \end{array}\right)\], é correto afirmar que:

se 𝑘 = 0, o sistema não tem solução.
se 𝑘 = −1, o sistema tem infinitas soluções.
se 𝑘 = −1, o sistema não tem solução.
se 𝑘 = 3, o sistema tem infinitas soluções.

Veja todas as resoluções de Matemática desta prova! 

Solução:

O post UNICAMP 2022: 1ª Fase – Q.20 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[\begin{pmatrix} a & -1\\a-2 & a\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\a-4 \end{pmatrix}\]
não admite solução?

a) 1.
b) 0.
c) -1.
d) -2.

Solução:

O post UNICAMP 2021 – 1ª Fase – 2º Dia – Q.44 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

$$\left\{ \begin{array}{c} x+2y+3z=20\\7x+8y-mz=26 \end{array} \right.$$

onde m é um número real. Sejam a < b < c números inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, b, c) é uma solução desse sistema. O valor de m é igual a

a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.

Solução:
Resposta: a)

Os números são consecutivos, portanto $$b=a+1$$ e $$c=a+2$$. Substituindo os três números inteiros na primeira equação, tem-se $$a+2(a+1)+3(a+2)=26\Longrightarrow 6a+8=20\Longrightarrow a=2$$.

Conclui-se, portanto, que $$(a,b,c)=(2,3,4)$$. Agora, substituindo esses valores na segunda equação, tem-se $$7\cdot 2 + 8\cdot 3 -4m=26\Longrightarrow -4m=-12\Longrightarrow m=3$$.

O post UNICAMP 2015 – 1ª Fase – Questão 21 apareceu primeiro em Educacional Plenus.