Gabarito: d)
Solução no vídeo a seguir:

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Solução:

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Solução:
Observamos que a equação é igual a zero se tivermos x²-1=0 ou x²-16=0.
A fim de que x²-1 =0, temos x = 1 ou x=-1, no segundo caso, para que x²-16 =0, temos x=4 ou x=-4.
As soluções são {-4,-1,1,4}.

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Resolva as equações abaixo no conjunto dos números reais.

x⁴ – 8x² + 16 =0. Solução.
x⁴ – 4 = 3x². Solução.
x⁴ – 16x² =0. Solução.
(x²-1)(x²-16)=0. Solução.
x²(x²-9)=-20. Solução.

Para quais valores reais de x teremos $$\frac{x^{2}-2}{x^{2}-4}+2=x^{2}$$, com x≠ 2 e x≠-2. Solução.

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Solução:

Parte I
Aplicando a distributividade no lado esquerdo da equação, obteremos $$x^{4}-9x^{2}$$, então teremos a equação biquadrada $$x^{4}-9x^{2}+20=0$$. Agora, fazemos a substituição t = x², e nossa equação original é reescrita com a variável t. Observe que $$x^{4}=(x^{2})^{2}=t^{2}$$. Daqui, nossa equação passa a ser

\[t^{2}-9t + 20 = 0.\]

Parte II
Obtemos a solução da equação do 2º grau associada, por meio da fórmula de Bhaskara.
$$t=\frac{9\pm\sqrt{9^{2}-4\cdot (20)}}{2}=\frac{9\pm 1}{2}$$. As duas soluções são $$t = (9+1)/2 = 5$$ e $$t = (9-1)/2 = 4$$.

Parte III
Retornamos à variável x. Observe que há duas possibilidades: ou$$5=t=x^{2}$$, ou $$4 = t = x^{2}$$. A primeira expressão, $$x^{2}=5$$, gera as soluções x = √5 ou x =-√5; a segunda, $$x^{2}=4$$, gera as soluções x=2 ou x=-2.
As soluções da equação biquadrada são, portanto, {±2,±√5}.

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Solução:

Parte I
Fazemos a substituição t = x², de modo que a nossa equação original é reescrita com a variável t. Note que $$x^{4}=(x^{2})^{2}=t^{2}$$. Daqui, nossa equação passa a ser

\[t^{2}-16t = 0.\]

Parte II
Resolvemos a equação do 2º grau associada. Observe que não é necessário usar a fórmula de Bhaskara, pois podemos escrever $$t(t – 16)=t^{2}-16t = 0$$. A equação t(t-16) = 0 é uma equação do segundo grau incompleta e tem as raízes t =0 ou t = 16.

Parte III
Voltamos à variável x. Observe que $$0=t=x^{2}$$ ou $$16=t=x^{2}$$. Do primeiro caso, teremos $$x=0$$; do segundo caso, há duas possibilidades, pois $$16=x^{2}$$, que gera as raízes x= 4 e x=-4.
As soluções são {-4,0,4}.

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Solução:

Parte I
Escrevemos a equação desta forma: x⁴ –  3x² – 4 = 0, para deixá-la na forma usual. Agora, fazemos a substituição t = x², e nossa equação original é reescrita com a variável t. Observe que $$x^{4}=(x^{2})^{2}=t^{2}$$. Daqui, nossa equação passa a ser

\[t^{2}-3t – 4 = 0.\]

Parte II
Obtemos a solução da equação do 2º grau associada, por meio da fórmula de Bhaskara.
$$t=\frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot (-4)}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}$$. As duas soluções são $$t = (3+5)/2 = 4$$ e $$t = (3-5)/2 = -1$$.

Parte III
Voltamos à variável x. Observe que há duas possibilidades: ou$$4=t=x^{2}$$, ou $$-1 = t = x^{2}$$. A segunda expressão não pode gerar uma solução, pois teríamos raiz quadrada de número negativo. Há, portanto,  apenas duas soluções, obtidas por meio de $$4=x^{2}$$. São elas x=2 ou x=-2.
E essa é a solução da equação biquadrada.

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Solução:

Parte I
Fazemos a substituição t = x², de modo que a nossa equação original é reescrita com a variável t. Note que $$x^{4}=(x^{2})^{2}=t^{2}$$. Daqui, nossa equação passa a ser

\[t^{2}-8t+16 = 0.\]

Parte II
Resolvemos a equação do 2º grau associada, por meio da fórmula de Bhaskara.
$$t=\frac{8\pm\sqrt{8^{2}-4\cdot 16}}{2}=\frac{8}{2}=4$$.

Parte III
Voltamos à variável x. Observe que $$4=t=x^{2}$$, então há duas possibilidades: ou x=2, ou x=-2.
E essa é a solução da equação biquadrada.

O post Equação biquadrada – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.