Equação biquadrada – Exercício 2

Calcule as raízes reais da equação biquadrada x⁴ – 4 = 3x².

Solução:

Parte I
Escrevemos a equação desta forma: x⁴ –  3x² – 4 = 0, para deixá-la na forma usual. Agora, fazemos a substituição t = x², e nossa equação original é reescrita com a variável t. Observe que $$x^{4}=(x^{2})^{2}=t^{2}$$. Daqui, nossa equação passa a ser

\[t^{2}-3t – 4 = 0.\]

Parte II
Obtemos a solução da equação do 2º grau associada, por meio da fórmula de Bhaskara.
$$t=\frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot (-4)}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}$$. As duas soluções são $$t = (3+5)/2 = 4$$ e $$t = (3-5)/2 = -1$$.

Parte III
Voltamos à variável x. Observe que há duas possibilidades: ou$$4=t=x^{2}$$, ou $$-1 = t = x^{2}$$. A segunda expressão não pode gerar uma solução, pois teríamos raiz quadrada de número negativo. Há, portanto,  apenas duas soluções, obtidas por meio de $$4=x^{2}$$. São elas x=2 ou x=-2.
E essa é a solução da equação biquadrada.