Calcule, quando possível, os limites abaixo. Justifique quando não for possível

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\[lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}.\]

Solução:

Pomos o x³ em evidência no numerador e no denominador e reescrevemos a fração, para aplicarmos as regras operacionais de limites no infinito. Assim a fração será

\[\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}=\]

\[\frac{x^{3}}{x^{3}}\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}=\]

\[\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}.\]

Pelas definição e regras operacionais, sabemos que

• \[lim_{x\to\infty}\frac{6}{x^{2}}=\]
• \[lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=\]
• \[lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=\]
• \[lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{3}}=0.\]

Daqui, aplicando a regra da soma dos limites no numerador, obtemos $$lim_{x\to\infty}5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=5$$; no denominador, a mesma regra fornece $$lim_{x\to\infty}\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=6+\frac{2}{x^{3}}=6.$$

Como os limites são reais e o limite do denominador não é nulo, escrevemos

\[lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}=\]

\[lim_{x\to\infty}\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}=\]

\[\frac{lim_{x\to\infty}5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{lim_{x\to\infty}6+\frac{2}{x^{3}}}=\frac{5}{6}.\]

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$$\lim_{x\to\infty} 2 – \frac{1}{x}$$.

Solução:

Nota-se que devemos calcular apenas o limite da fração. Assim, temos

\[\lim_{x\to\infty} 2 – \frac{1}{x} =  2 – \lim_{x\to\infty}  \frac{1}{x}=2.\]

A justificativa de que $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0$$ encontra-se neste link.

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$$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x+1} – \sqrt{x+3}$$.

Solução:

Para aplicarmos as Regras Operacionais, precisamos transformar a função fornecida, multiplicando e dividindo pelo conjugado, $$\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}$$, e dividirmos numerador e denominador por $$x^{2}$$. Assim,

\[\sqrt{x+1} – \sqrt{x+3} = \frac{(\sqrt{x+1} – \sqrt{x+3})\cdot (\sqrt{x+1} – \sqrt{x+3})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}=\]

\[\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}=\frac{1/x^{2}}{(1/x^{2})\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}=\]

\[\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{3}{x}}}.\]

Note que os limites do numerador e do denominador existem quando $$x\to\infty$$, de modo que podemos aplicar as regras operacionais.

Portanto,

\[\lim_{x\to\infty} \sqrt{x+1} – \sqrt{x+3} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{3}{x}}}=\]

\[\frac{\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\lim_{x\to\infty}\frac{3}{x}}} = \frac{0}{2}=0.\]

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Neste artigo, estudamos as principais propriedades do limite que tende ao infinito. Se tomarmos como exemplo a função $$f(x)=\frac{1}{x}$$, definida em $$\mathbb{R}-\{0\}$$, podemos nos perguntar o que ocorre com o seu valor à medida que x cresce indefinidamente.

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Observamos alguns exemplos.

Observamos que a função assume valores cada vez mais próximos de zero se aumentarmos muito o valor de $$x$$. Dizemos que $$lim_{x\to\infty} f(x) = 0$$, em que o símbolo ∞ indica que o $$x$$ está ficando cada vez maior. Formalmente, definimos a simbologia lim_x→∞ f(x) = L do seguinte modo:

Dado ε>0, existe $$A>0$$ tal que, se $$ x>A$$, então $$|f(x)-L|<\epsilon$$.

Observação: se estivermos interessados em definir o limite quando $$x$$ tende a –∞, basta trocarmos a definição para $$x<-A$$.

Exemplo

Vamos demonstrar a afirmação $$lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$, por meio da definição.
Se fizermos a igualdade $$\epsilon = \frac{1}{A}$$, todo ε produz um $$A$$ nas condições da definição. Agora, se $$|x|>A$$, então \[|\frac{1}{x}|=\frac{1}{|x|}<\frac{1}{A}=\epsilon .\]

O que completa a demonstração.

Propriedades Operacionais

Sejam $$f$$ e $$g$$ duas funções reais tais que lim_x→∞ f(x) = L₁ e lim_x→∞ g(x) = L₂ e seja dada uma constante real $$k$$. Valem as seguintes propriedades:

1. $$lim_{x\to}[f(x)\pm g(x)] = L_{1}\pm L_{2}$$.
2. $$lim_{x\to\infty}(kf(x)) = lim_{x\to}[f(x)+g(x)] = k\cdot L_{1}$$.
3. $$lim_{x\to\infty}[f(x) \cdot g(x)] = L_{1}\cdot L_{2}$$.
4. $$lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_{1}}{L_{2}}$$, se $$L_{2}\neq 0 $$.

Uma observação importante: se estivermos interessados em calcular limites em -∞, os teoremas permanecem válidos. 

Agora é com você! Pratique!

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