Calcule o limite, se existir, justificando os passos.
$$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x+1} – \sqrt{x+3}$$.
Solução:
Para aplicarmos as Regras Operacionais, precisamos transformar a função fornecida, multiplicando e dividindo pelo conjugado, $$\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}$$, e dividirmos numerador e denominador por $$x^{2}$$. Assim,
\[\sqrt{x+1} – \sqrt{x+3} = \frac{(\sqrt{x+1} – \sqrt{x+3})\cdot (\sqrt{x+1} – \sqrt{x+3})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}=\]
\[\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}=\frac{1/x^{2}}{(1/x^{2})\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}=\]
\[\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{3}{x}}}.\]
Note que os limites do numerador e do denominador existem quando $$x\to\infty$$, de modo que podemos aplicar as regras operacionais.
Portanto,
\[\lim_{x\to\infty} \sqrt{x+1} – \sqrt{x+3} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{3}{x}}}=\]
\[\frac{\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\lim_{x\to\infty}\frac{3}{x}}} = \frac{0}{2}=0.\]
