Calcule o limite, se existir, justificando os passos.
$$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2}-2x+3}{3x^{2}+x+1}$$.
Solução:
Para aplicarmos as regras operacionais dos limites no infinito, vamos dividir numerador e denominador por $$x^{2}$$, que é o termo de maior expoente em ambos os polinômios. Ficamos com
\[\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}\cdot\frac{x^{2}-2x+3}{3x^{2}+x+1}=\]
\[\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x}}{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}.\]
Dado que os limites do numerador e do denominador existem e o do denominador é diferente de zero, quando x→∞, podemos escrever
\[\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2}-2x+3}{3x^{2}+x+1} = \frac{1-\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x}+\lim_{x\to\infty} \frac{3}{x}}{3+\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}+\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{3}.\]
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