Limites no Infinito

Motivação e Definição de Limite

Neste artigo, estudamos as principais propriedades do limite que tende ao infinito. Se tomarmos como exemplo a função $$f(x)=\frac{1}{x}$$, definida em $$\mathbb{R}-\{0\}$$, podemos nos perguntar o que ocorre com o seu valor à medida que x cresce indefinidamente.

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Observamos alguns exemplos.

Observamos que a função assume valores cada vez mais próximos de zero se aumentarmos muito o valor de $$x$$. Dizemos que $$lim_{x\to\infty} f(x) = 0$$, em que o símbolo ∞ indica que o $$x$$ está ficando cada vez maior. Formalmente, definimos a simbologia lim_x→∞ f(x) = L do seguinte modo:

Dado ε>0, existe $$A>0$$ tal que, se $$ x>A$$, então $$|f(x)-L|<\epsilon$$.

Observação: se estivermos interessados em definir o limite quando $$x$$ tende a –∞, basta trocarmos a definição para $$x<-A$$.

Exemplo

Vamos demonstrar a afirmação $$lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$, por meio da definição.
Se fizermos a igualdade $$\epsilon = \frac{1}{A}$$, todo ε produz um $$A$$ nas condições da definição. Agora, se $$|x|>A$$, então \[|\frac{1}{x}|=\frac{1}{|x|}<\frac{1}{A}=\epsilon .\]

O que completa a demonstração.

Propriedades Operacionais

Sejam $$f$$ e $$g$$ duas funções reais tais que lim_x→∞ f(x) = L₁ e lim_x→∞ g(x) = L₂ e seja dada uma constante real $$k$$. Valem as seguintes propriedades:

1. $$lim_{x\to}[f(x)\pm g(x)] = L_{1}\pm L_{2}$$.
2. $$lim_{x\to\infty}(kf(x)) = lim_{x\to}[f(x)+g(x)] = k\cdot L_{1}$$.
3. $$lim_{x\to\infty}[f(x) \cdot g(x)] = L_{1}\cdot L_{2}$$.
4. $$lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_{1}}{L_{2}}$$, se $$L_{2}\neq 0 $$.

Uma observação importante: se estivermos interessados em calcular limites em -∞, os teoremas permanecem válidos. 

Agora é com você! Pratique!

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