Limites no Infinito – Exercício 5

Calcule, se existir,

\[lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}.\]

Solução:

Pomos o x³ em evidência no numerador e no denominador e reescrevemos a fração, para aplicarmos as regras operacionais de limites no infinito. Assim a fração será

\[\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}=\]

\[\frac{x^{3}}{x^{3}}\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}=\]

\[\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}.\]

Pelas definição e regras operacionais, sabemos que

• \[lim_{x\to\infty}\frac{6}{x^{2}}=\]
• \[lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=\]
• \[lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=\]
• \[lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{3}}=0.\]

Daqui, aplicando a regra da soma dos limites no numerador, obtemos $$lim_{x\to\infty}5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=5$$; no denominador, a mesma regra fornece $$lim_{x\to\infty}\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=6+\frac{2}{x^{3}}=6.$$

Como os limites são reais e o limite do denominador não é nulo, escrevemos

\[lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}=\]

\[lim_{x\to\infty}\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}=\]

\[\frac{lim_{x\to\infty}5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{lim_{x\to\infty}6+\frac{2}{x^{3}}}=\frac{5}{6}.\]