Calcule, se existir,
\[lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}.\]
Solução:
Pomos o x³ em evidência no numerador e no denominador e reescrevemos a fração, para aplicarmos as regras operacionais de limites no infinito. Assim a fração será
\[\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}=\]
\[\frac{x^{3}}{x^{3}}\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}=\]
\[\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}.\]
Pelas definição e regras operacionais, sabemos que
- \[lim_{x\to\infty}\frac{6}{x^{2}}=\]
- \[lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=\]
- \[lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=\]
- \[lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{3}}=0.\]
Daqui, aplicando a regra da soma dos limites no numerador, obtemos $$lim_{x\to\infty}5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=5$$; no denominador, a mesma regra fornece $$lim_{x\to\infty}\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}=6+\frac{2}{x^{3}}=6.$$
Como os limites são reais e o limite do denominador não é nulo, escrevemos
\[lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+2}=\]
\[lim_{x\to\infty}\frac{5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{6+\frac{2}{x^{3}}}=\]
\[\frac{lim_{x\to\infty}5-\frac{6}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{lim_{x\to\infty}6+\frac{2}{x^{3}}}=\frac{5}{6}.\]
