Limites no Infinito – Exercício 2

Calcule o limite, se existir, justificando os passos.

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2x+1}{x+3}$$.

Solução:

Para aplicarmos as regras operacionais dos limites no infinito, vamos dividir o numerador e o denominador por $$x$$, de modo a termos

\[\frac{2x+1}{x+3}=\frac{(\frac{1}{x})(2x+1)}{(\frac{1}{x})x+3}=\]

\[\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}.\]

Dado que os limites do numerador e do denominador existem e o do denominador é diferente de zero, quando x→∞, podemos escrever

\[\lim_{x\to\infty} \frac{2x+1}{x+3}=\lim_{x\to\infty} \frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=\]

\[\frac{2+\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}}{1+\lim_{x\to\infty} \frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.\]