Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) 2√3
b) √3/3
c) √3/6
d) √20/20
e) 3√3
Solução:
Inicialmente, calculamos, por Pitágoras, o comprimento do outro cateto, denotado por $$x$$. Assim,
\[(4a)^{2}=(2a)^{2}+x^{2}\Longrightarrow\]
\[x^{2}=(4a)^{2}-(2a)^{2}=16a^{2}-4a^{2}=12a^{2}\Longrightarrow\]
\[x =\sqrt{12a^{2}}=\sqrt{3\cdot 4\cdot a^{2}}=2a\sqrt{3}.\]
Agora, aplicamos a definição da tangente em um triângulo retângulo, sabendo que o ângulo (α) em questão é oposto ao cateto menor. Note que o cateto menor tem medida $$2a$$, pois $$2a<2a\sqrt{3}$$. Desse modo, o cateto oposto a α mede 2a, e o cateto adjacente mede 2a√3. Assim,
\[tg(\alpha)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{2a}{2a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\]
Resposta: b)
