No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f (x) = x² + 2, com x ∈ IR , e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.
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Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é:
a) 20
b) 28
c) 36
d) 40
Solução:
O ponto B corresponde ao vértice (ponto de mínimo) desta parábola. Queremos obter o $$y_{v}$$, a fim de encontrarmos a altura daquele quadrado.
Note que $$f(x)=x^{2}+2$$, então $$a=1$$, $$b=0$$ e $$c=2$$.
Para isso, basta fazer
\[y_{v}=-\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a}=-\frac{-8}{4\cdot 1}=2\].
Portanto o lado do quadrado ABCD é 1. O ponto P terá coordenadas (2,y). Para calcular sua coordenada $$y$$, basta substituir $$x=2$$ na parábola, pois P está sobre a parábola, portanto satisfaz a equação dela.
\[f(1)=2^{2}+2=6\].
O ponto P é tal que P=(1,6). Logo o quadrado DPNM tem lado medindo 3.
\[A_{total}=A_{ABCD}+A_{DPNM}=2^{2}+6^{2}=40\]
Resposta: d)
