Exame de QualificaçãoProbabilidade
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UERJ 2017 – 1º Exame de Qualificação – Q.29

Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes:

A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

  1. Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é primo se P > 1 e tem apenas dois divisores naturais distintos.
  2. A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1.
  3.  Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão.
  4.  Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números distintos ao acaso.

A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é:

a) 5/12
b) 7/12
c) 13/24
d) 17/24



Solução:

Descrevamos os passos anteriores com os conjuntos obtidos deles.
1. Os primos são {2,3,5,7}. O conjunto obtido é {6,9,15,21}.
2. Os não primos são {0,1,4,6,8,9}. O conjunto obtido é {1,2,5,7,9,10}.
3. O conjunto total obtido é {1,2,5,6,7,9,10,15,21}. Cada número representa um cartão.
Neste conjunto, observe que 3 são pares e 6 são ímpares.

Para que, em uma dupla sorteada, exista, no mínimo, um número par, pode-se ter um par e um ímpar, ou dois pares. Note que, neste exercício, precisamos considerar as duplas híbridas duas vezes; (par,ímpar) é diferentes da dupla (ímpar,par); porque o enunciado pede as duplas em que aparecem, no mínimo, 2 cartões. No caso (par,par) não é necessário fazer o arranjo.

  • Caso (par,ímpar): $$\frac{3\cdot 6}{2!}=9$$
  • Caso (ímpar,par): $$\frac{6\cdot 3}{2!}=9$$
  • Caso (par,par) [Combinação de 3 elementos pares tomados 2 a 2]: $$C_{3,2}=\frac{3cdot 2}{2!1!}=3$$

Ao todo, há 9+9+3 = 21 possibilidades.

Por fim, o número de elementos no espaço amostral é a quantidade de duplas que se pode tirar com aquele conjunto, isto é, a combinação dos 9 elementos tomados 2 a 2.

\[C_{9,2}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9\cdot 8}{2}=36\].

\[p=\frac{21}{36}=\frac{3\cdot 7}{3\cdot 12}=\frac{7}{12}\]
Resposta: b)

 

Tags: 2017

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