Vértice da Parábola – Exercício 7

Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2 760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser

A) R$ 15,00.
B) R$ 24,50.
C) R$ 32,75.
D) R$ 37,50.
E) R$ 42,50.

Solução:

1) Vamos escrever a função que fornece o número de participantes em função do preço. Conforme o enunciado, essa função é linear, uma vez que a queda nos participantes é  proporcional ao aumento de preços. Verificamos que o primeiro par ordenado é (460 ; 6). Podemos fixar um outro par ordenado, digamos que o preço seja de R$ 9,00, então o número de participantes será 20 unidades menor, logo o par é (440 ; 9).

Com o modelo linear ($$y=ax+b$$), temos o sistema

• 460 = 6a + b;
• 440 = 9a + b.

Multiplicando a primeira equação toda por (-1) e somando-a à segunda equação, obtemos $$-460+440=-6a+9a-b+b$$, logo $$-20=3a$$, o que implica $$a=-20/3$$.

Substituindo tal valor na primeira equação original, obtemos $$460=-6\cdot (20/3)+b$$, então $$b=500$$. Se $$x$$ é o preço, o número de participantes (y) é dado por $$y=500–x(20/3)$$.

2) A receita que a empresa obterá com as inscrições é a multiplicação entre o preço e o número de participantes, isto é: $$r(x)=x\cdot y=500x–x²(20/3)$$.

O valor de $$x$$ que fornece a arrecadação máxima é o “x” do vértice da parábola $$r(x)$$, isto é:

$$x_v=-\frac{500}{2\cdot (-20/3)}=R\mathrm{\$}37,50.$$