Concursos Matemática

Concurso – CRF-SP – 2017 – Agente Administrativo (parte 4)

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Questão 19

Em uma palestra motivacional o público inicial às 09h00min horas da manhã era de 704 pessoas, sendo 448 homens e 256 mulheres. Como o palestrante não estava atraindo a atenção do público, as pessoas foram saindo ininterruptamente. Se a cada 9 minutos metade dos homens presentes iam embora, e a cada 15 minutos a quarta parte das mulheres presentes saíam, quantos minutos após o início da palestra o público presente era de 18 pessoas?

A) 27 minutos. B) 30 minutos. C) 45 minutos. D) 54 minutos.

Solução:

Os decaimentos nos números de pessoas são progressões geométricas decrescentes. Para as mulheres, temos $$p_{n}=\frac{256}{4^{n}}$$, onde $$n$$ é um número inteiro e representa um período de tempo equivalente a 15 minutos. Para os homens, $$q_{m}=\frac{448}{2^{m}}$$, onde $$m$$ é um número inteiro e representa um período de tempo equivalente a 9 minutos.

No caso dos homens, procuramos por $$m$$ tal que $$\frac{448}{2^{m}}\leq 18$$, pois o número de homens e de mulheres deve ser, no máximo, igual a 18. Então $$2^{m}\geq 25$$, pois $$m$$ é o menor inteiro capaz de fazer com que $$2^{m}\geq 24,8 =\frac{448}{18}$$.

Deste modo, $$m\geq 5$$, dado que $$2^{5}=32>25$$. Isto significa que o tempo mínimo para que o número de homens seja menor ou igual a 18 é equivale a $$5\cdot 9 = 45$$ minutos.

No caso das mulheres, fazemos $$\frac{256}{4^{n}}\leq 18$$, pelo mesmo argumento do caso dos homens. A inequação torna-se $$4^{n}\geq 15$$, pois $$n$$ é o menor inteiro capaz de fazer com que $$4^{n}\geq 14,22 = \frac{256}{18}$$. Assim, $$n\geq 2$$, porque $$4^{2}=16>15$$.

Por fim, basta calcularmos o número de pessoas no instante $$m=5$$ e $$n=2$$. Com efeito, o número de homens será $$\frac{448}{2^{5}}= 14$$ e $$\frac{256}{4^{3}}= 4$$. A razão para escolhermos $$n = 3$$ é que, quando $$n=3$$, o total de minutos equivale a 45, coincidindo com o $$m=5$$.

Resposta: c)


Questão 20

Um pai deixou para seus três filhos uma herança que será dividida de forma diretamente proporcional às idades dos herdeiros. Danilo tem 35 anos e recebeu R$ 525.000,00, João tem 32 anos e Davi tem 23 anos. O valor que o pai deixou de herança é:

A) R$ 1.250.000,00. B) R$ 1.300.000,00. C) R$ 1.350.000,00. D) R$ 1.400.000,00.

Solução: