FATEC – Vestibular 2017 – Matemática (continuação)

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Leia o texto publicado em maio de 2013 para responder às questões de números 32 a 34.

Os Estados Unidos se preparam para uma invasão de insetos após 17 anos Elas vivem a pelo menos 20 centímetros sob o solo há 17 anos. E neste segundo trimestre, bilhões de cigarras (Magicicada septendecim)  emergirão para invadir partes da Costa Leste, enchendo os céus e as árvores, e fazendo muito barulho. Há mais de 170 espécies de cigarras na América do Norte, e mais de 2 mil espécies ao redor do mundo. A maioria aparece todos os anos, mas alguns tipos surgem a cada 13 ou 17 anos. Os visitantes deste ano, conhecidos como Brood II (Ninhada II, em tradução livre) foram vistos pela última vez em 1996. Os moradores da Carolina do Norte e de Connecticut talvez tenham de usar rastelos e pás para retirá-las do caminho, já que as estimativas do número de insetos são de 30 bilhões a 1 trilhão. Um estudo brasileiro descobriu que intervalos baseados em números primos ofereciam a melhor estratégia de sobrevivência para as cigarras.

Acesso em: 30.08.2016. Adaptado.

Questão 32

Suponha a existência de uma espécie C1 de cigarras, emergindo na superfície a cada 13 anos, e de uma espécie C2 de cigarras, emergindo a cada 17 anos.
Se essas duas espécies emergirem juntas em 2016, elas emergirão juntas novamente no ano de

a) 2271.
b) 2237.
c) 2145.
d) 2033.
e) 2029

Solução:

A partir de 2016, basta somarmos um fator cíclico para cada espécie. Os fatores são, respectivamente, $$13n$$ e $$17m$$, onde $$n$$ e $$m$$ são números naturais.

A próxima data de encontro será no momento em que $$17m=13n$$. Esta equação inteira terá solução mínima quando $$n=17$$ e $$m=13$$.

Assim, $$13\cdot 17 = 221$$. Somando este valor ao número 2016, obtemos a resposta correta.

Resposta: b)


Questão 33

O texto afirma que os habitantes das áreas próximas às da população de cigarras da Ninhada II talvez tenham que retirá-las do caminho. Imagine que 30 bilhões dessas cigarras ocupem totalmente uma estrada em formato retangular, com 10 metros de largura.

Nesse cenário hipotético, as cigarras estariam posicionadas lado a lado, sem sobreposição de indivíduos.
Considerando que a área ocupada por uma cigarra dessa espécie é igual a $$7\cdot 10^{-4}$$ metros quadrados, então N quilômetros dessa estrada ficarão ocupados por essa população.

O menor valor de N será igual a

a) 2,1
b) 21
c) 210
d) 2 100
e) 21 000

Solução:

A área deste retângulo é resultado do produto de $$10 Km$$ pela distância de ocupação das cigarras. A área ocupada é dada pelo número de indivíduos multiplicado pela área da superfície corpórea das cigarras. Note que 30 bilhões equivalem a $$30\cdot 10^{9}$$.

\[A=30\cdot 10^{9}\cdot 7\cdot 10^{-4}= 21\cdot 10^{6}m^{2} \].

\[21\cdot 10^{6}= N\cdot 10\Longrightarrow N = 21\cdot 10^{5}m =2100 Km \].

Resposta: d)


Questão 34

Com relação à Ninhada II, e adotando o ano de 1996 como o 1º termo (a1) de uma Progressão Aritmética, a expressão algébrica que melhor representa o termo geral (an) da sequência de anos em que essas cigarras sairão à superfície, com $$n\in\mathbb{N}$$, é dada por

a) an = 17 n + 1979
b) an = 17 n + 1998
c) an = 17 n + 2013
d) an = 1996 n + 17
e) an = 1979 n + 17

Solução:

O termo geral tem expressão $$a_{n}=a_{1}+r(n-1)$$, onde $$r$$ é a razão. No exemplo, $$r=17$$.

\[a_{n}=1996+17(n-1)=17n+1979\].

Resposta: a)

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