Resolução – FUVEST (2017) – Matemática (1ª Fase)

Questão

Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Constituem dois inteiros positivos equivalentes:

a) 8 e 9.

b) 9 e 11.

c) 10 e 12.

d) 15 e 20.

e) 16 e 25.

Solução:

Verificamos os divisores de cada par e somamo-los.

8: {1,2,4,8} , S = 15

9: {1,3,9} , S = 13

10: {1,2,5,10} , S = 18

11: {1,11} , S = 12

12: {1,2,3,4,6,12} , S = 28

15: {1,3,5,15}, S = 24

16: {1,2,4,8,16}, S = 31

20: {1,2,4,5,10,20} , S =42

25: {1,5,25}, S = 31

Resposta: e)


Questão

O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.


O seno do ângulo $$H\hat{A}F$$ é igual a

a) $$1/2\sqrt{5}$$

b) $$1/\sqrt{5}$$

c) $$2/\sqrt{10}$$

d) $$2/\sqrt{5}$$

e) $$3/\sqrt{10}$$

Solução:


Questão

João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há 25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$ 150,00 é igual a

a) 46

b) 45

c) 44

d) 43

e) 42

Solução:

Seja $$x$$ o número das dúzias na loja A, seja $$y$$ o número dos pares na loja B, e seja $$z$$ o número de canetas na loja C.

A equação do gasto de João será $$40,00\cdot x + 7,60\cdot y + 3,20\cdot z \leq 150$$.

Antes, vamos comparar os preços nas lojas e decidir qual é a mais barata.

A x B: A loja A é mais barata. Se comprarmos uma dúzia de canetas em A, gastamos $$R\$ 40,00$$. Se comprarmos 6 pares em B (12 canetas), gastaremos $$6\cdot 7,6 = R\$ 45,6$$.

B x C: A loja C é mais barata. Se comprarmos duas canetas em C, gastamos $$22\cdot 3,2=R\$ 6,40$$. Em B, gastamos $$R\$ 7,60$$.

A x C: A loja C é mais barata. Se comprarmos 12 canetas em C, gastamos $$12\cdot 3,2 = R\$ 38,4$$. Em A, gastamos R$ 40,00.

Assim, optamos, primeiro, por C e A. Se começarmos comprando 25 canetas em C, gastaremos $$25\cdot 3,20 = R\$ 80,00$$. E sobrará apenas 150-80 = R$ 70,00. Será possível apenas comprar um kit de 12 canetas em A, e o restante será comprado na loja B. No total, ele compra 43 canetas (12 em A, 6 em B e 25 em C)

Por outro lado, se João comprar dois kits em A (24 canetas = 2 dúzias), ele terá R$ 150-80 = R$ 70,00 para gastar em B e C. Optando por C, inicialmente, ele consegue comprar 21 canetas ($$\frac{70}{3,2}=21,875$$). Deste modo, ele consegue mais canetas, um total de 45 (24 em A, 0 em B e 21 em C).

Obs: como os kits são números inteiros, isso determinará a diferença entre comprar mais em uma ou noutra loja.

Resposta: b)


Questão

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é

Solução:

CPRA

O espaço amostral é composto por $$4!=24$$ possibilidades, o que representa todas as disposições possíveis.

 

Agora, para calcularmos a quantidade de configurações em que cada pessoa não retira o próprio nome, infelizmente, teremos de observar uma por uma. As iniciais dos nomes serão utilizadas para compor a ordem.

Alguns Casos: ACPR, ARPC, ARCP…

Procedendo desta maneira, chegamos à conclusão de que existem 9 possibilidades de configuração. A probabilidade será a divisão entre este valor e o número do espaço amostral.

\[p=\frac{9}{16}\]

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