Resolução – Mackenzie 2017 – Matemática (grupos II e III)

Questão

Sabendo que $$\sum^{n}_{p=0}{n\choose p}=256$$, então o valor de $$n$$ é:

a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4

Solução: 

Do binômio de Newton, temos que $$(x+y)^{n}=\sum^{n}_{p=0}{n\choose p}x^{n-p}y^{p}$$. Pondo $$x=y=1$$, obtemos:

\[2^{n}=(1+1)^{n}=\sum^{n}_{p=0}{n\choose p}=256\Longrightarrow n = log_{2}256=8\].

Resposta: a)


Questão

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Considerando m e n raízes da equação $$A=\left|\begin{array}{ccc} 2^{x}&8^{x}& 0\\ log_{2}x&log_{2}x^{2}&0 \\1&2&3 \end{array}\right|=0$$, onde $$x>0$$, então $$m+n$$ é igual a:

a) 2/3

b) 3/4

c) 3/2

d) 4/3

e) 4/5

Solução:

Com a facilidade de termos zeros em duas entradas da matrizes, podemos calcular o determinante como se segue:

\[\left|\begin{array}{ccc} 2^{x}&8^{x}& 0\\ log_{2}x&log_{2}x^{2}&0 \\1&2&3 \end{array}\right|=3\cdot (-1)^{3+3}\cdot \left|\begin{array}{cc} 2^{x}&8^{x}\\ log_{2}x&log_{2}x^{2} \end{array}\right|=3\cdot(2^{x}\cdot log_{2}x^{2}-8^{x}\cdot log_{2}x)=0\].

Note que $$2^{x}\cdot log_{2}x^{2} = 2\cdot 2^{x}\cdot log_{2}(x)=2^{x+1}log_{2}(x)$$.

Arrumando a equação anterior, obtemos:

\[3\cdot (2^{x+1}-8^{x})\cdot(log_{2}x)=0\].

Há duas opções para que a equação anule-se:

1) $$log_{2}x=0\Longrightarrow x=1$$.

2) $$2^{x+1}-8^{x}=0\Longrightarrow 2^{x+1}=8^{x}=2^{3x}\Longrightarrow x+1=3x\Longrightarrow x=1/2$$.

Resposta: 1/2+1=3/2 (alternativa c)


Questão

Se $$\frac{2+i}{\beta + 2i}$$ tem parte imaginária igual a zero, então o número real $$\beta$$ é igual a:

a) 4
b) 2
c) 1
d) – 2
e) – 4

Solução:

Multiplicamos a fração pelo conjugado do denominador, isto é, pelo número $$\beta – 2i$$.

\[\frac{2+i}{\beta + 2i}\cdot\frac{\beta -2i}{\beta + 2i}=\frac{2\beta-4i+\beta i+2}{\beta^{2}+4}=\frac{2\beta+2}{\beta^{2}+4}+i\frac{\beta – 4}{\beta^{2}+4}\].

Do enunciado, vemos que a parte imaginária é nula, isto é, $$\beta-4 = 0\longrightarrow \beta = 4$$.

Resposta: a)


Questão

300x250-games

O número de soluções que a equação $$4 cos^{2}(x) − cos 2x + cos x = 2$$ admite no intervalo [0, 2π] é

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Solução:

Recorde-se das seguintes identidades:

i.   $$sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$$.

ii.  $$cos(2x)=cos^{2}(x)-sen^{2}(x)=2cos^{2}(x)-1$$.

Substituindo estas identidades trigonométricas na equação do enunciado, temos:

\[4 cos^{2}(x) − 2cos^{2}(x)+1 + cos x = 2\].

Façamos a substituição $$t=cos(x)$$, e obtemos:

\[2t^{2}+t-1=0\].

Resolvendo a equação por Bhaskara, obtemos $$t=-1$$ ou $$t=-(1/2)$$.

Isto é, teremos $$cos(x)=-1$$ ou $$cos(x)=-1/2$$. Da primeira opção, no intervalo indicado pelo enunciado, a única solução é $$x=\pi$$. Da segunda opção, as únicas soluções dentro do intervalo são $$x=5pi/3$$ ou $$x=2\pi/3$$.

Resposta: d)


 

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