Matemática PUC - Campinas

Resolução – PUC – Campinas 2019 – Matemática

Questão 16

Dado um número real x, definimos o seu valor absoluto, representado por ⏐x⏐, como:

$$|x|=\left\{\begin{array}{rc} x,&\mbox{se}\quad x\geq 0,\\ -x, &\mbox{se}\quad x<0. \end{array}\right.$$

Considere os gráficos das funções f e g, construídos na mesma escala, sendo f dada pela lei
$$\frac{x^{2}}{2}-3x+4$$

Dentre as expressões fornecidas a seguir, a única que pode representar a lei da função g é

Solução:

Descartamos os itens (c) e (d), pois as funções daqueles casos são sempre positivas. O item (b) também é descartado, uma vez que $$|x|^{2} = x^{2}$$, ou seja, a expressão é idêntica à expressão original.

Por fim, descartamos o item (e), pois, em $$x=0$$, teríamos $$g(x) = -4$$; mas o gráfico exibido apresenta, em $$x=0$$, um g(x) positivo.

Resposta: a)


Questão 25

Existem atualmente no Brasil 35 partidos políticos, o que pode tornar a decisão do eleitor diante da urna um duro dilema. No primeiro turno das últimas eleições, o eleitor precisava registrar quatro votos para cargos majoritários: um para presidente, um para governador e dois para senador. Suponha que, em determinado estado, os candidatos para esses cargos, com seus respectivos partidos, fossem aqueles indicados na tabela. Os partidos F e G não tinham candidato a presidente nem a governador, apenas a
senador.

Considere um eleitor que decidiu não votar em branco nem nulo para qualquer um dos quatro cargos majoritários. O número de maneiras distintas que ele tinha para definir esses quatro votos de forma que pelo menos dois deles fossem dados a candidatos do mesmo partido é igual a

(A) 300.
(B) 315.
(C) 325.
(D) 340.
(E) 350.

Solução:

O total de maneiras com que o eleitor pode escolher (sem qualquer restrição) é $$5\cdot 5\cdot \frac{7\cdot 6}{2!}= 525$$. É o número de sequências que podem ser formadas, tomando-se um candidato de cada lista. Note que os últimos dois, para não serem contados duas vezes, devem ter o resultado dividido por 2!.

Calculamos, agora, o número de maneiras em que não há nenhum candidato de dois partidos.

Primeiro grupo: Tomamos os candidatos apenas dos partidos que tem candidatos a todos os cargos.

O total será $$5\cdot 4\cdot \frac{3\cdot 2}{2!} = 60$$.

Segundo grupo: Fixamos um senador de um dos partidos que não tem candidatos aos outros cargos.

O total será: $$5\cdot 4\cdot 1\cdot 3 = 60$$.

Como há dois senadores com que podemos fazer este cálculo, o total será $$2\cdot 60 = 120$$.

E, finalmente, o total de maneiras em que os dois senadores de partidos sem outros candidatos serão escolhidos: $$5\cdot 4\cdot 1\cdot 1 = 20$$.

O total de maneiras de votar em candidatos de partidos diferentes é $$60+120+20 = 200$$.

Fazendo o total de maneiras, calculado no início, menos este último número, teremos o total de maneiras em que há pelo menos 2 candidatos do mesmo partido, isto é, $$525-200 = 325$$.

Resposta: c)


Questão 32

Em um teatro, os ângulos sob os quais os espectadores enxergam o palco dependem da localização de suas poltronas na plateia. No esquema, que representa uma vista superior do teatro, os espectadores das poltronas E5 e N12 enxergam o palco sob ângulos de medidas, em graus, iguais a θ e β, respectivamente.

A poltrona E5 está localizada sobre o arco de circunferência A1. A poltrona N12, sobre o arco de circunferência A2, cujo centro pertence ao arco A1. Nessas condições, é necessariamente verdadeira a relação:

(A) θ + β = 90°
(B) θ + β = 180°
(C) θ = β
(D) θ = β + 30°
(E) θ = 2β

Solução:


Questão 41

Os novos locatários de um prédio de escritórios solicitaram ao proprietário que as salas de um dos andares fossem divididas em duas partes de áreas iguais, que passariam a ser utilizadas como salas de reunião. Uma dessas salas está representada no plano cartesiano da figura, cujas medidas dos eixos são dadas em metros.

A divisão será feita ao longo da linha reta tracejada indicada na figura, que é perpendicular ao eixo x. Essa linha está contida na reta de equação

Solução:

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Plenus

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