Resolução – UERJ 2016 (2º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação)

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Questão 26

No Brasil, o imposto de renda deve ser pago de acordo com o ganho mensal dos contribuintes, com base em uma tabela de descontos percentuais. Esses descontos incidem, progressivamente, sobre cada parcela do valor total do ganho, denominadas base de cálculo, de acordo com a tabela a seguir.

 

Segundo a tabela, um ganho mensal de R$ 2.100,00 corresponde a R$ 15,00 de imposto. Admita um contribuinte cujo ganho total, em determinado mês, tenha sido de R$ 3.000,00. Para efeito do cálculo progressivo do imposto, deve-se considerar esse valor formado por três parcelas: R$ 1.900,00, R$ 900,00 e R$ 200,00. O imposto de renda, em reais, que deve ser pago nesse mês sobre o ganho total é aproximadamente igual a:

a) 55

b) 98

c 128

d) 180

Solução:

As parcelas (alíquotas) que terão descontos são R$ 900,00 e R$ 200,00.

1º Desconto: $$900\cdot 7,5\%=900\cdot 0,075=R\$ 67,5$$.

2º Desconto: $$200\cdot 15\%=200\cdot 0,15=R\$ 30,00$$.

No total, o desconto equivalerá a $$67,5+30=97,5$$.

Resposta: b)

Questão 27

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Os consumidores de uma loja podem concorrer a brindes ao fazerem compras acima de R$ 100,00. Para isso, recebem um cartão de raspar no qual estão registradas 23 letras do alfabeto em cinco linhas. Ao consumidor é informado que cada linha dispõe as seguintes letras, em qualquer ordem:

• linha 1 – {A, B, C, D, E};

• linha 2 – {F, G, H, I, J};

• linha 3 – {L, M, N, O, P};

• linha 4 – {Q, R, S, T, U};

• linha 5 – {V, X, Z}.

Observe um exemplo desses cartões, com as letras ainda visíveis:

Para que um consumidor ganhasse um secador, teria de raspar o cartão exatamente nas letras dessa palavra, como indicado abaixo:

Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer a um ventilador. Se ele raspar as letras corretas em cada linha para formar a palavra VENTILADOR, a probabilidade de que ele seja premiado corresponde a:

a) 1/15000

b) 1/18000

c) 1/20000

d) 1/25000

Solução

Listamos as letras que devem ser selecionadas em cada letra.

• linha 1 – {A, D, E};

• linha 2 – { I};

• linha 3 – {L, O};

• linha 4 – { R, T};

• linha 5 – {V}.

O consumidor sabe as letras que estão em cada linha, o desafio consiste de escolher corretamente a posição das letras em cada linha. Deste modo, o consumidor sabe que deverá escolher 3 letras na primeira linha, uma, na segunda, e assim por diante. Além disso, note que as ordens não importam, isto é, pode sair a sequência AB ou BA, numa respectiva linha.

A probabilidade é a divisão entre os casos possíveis do evento em questão, pelos casos possíveis no total.

Linha 1:

No total, há $$C_{5,3}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$$ possibilidades de raspar três letras nesta linha.

Como há apenas uma sequência válida, {A,D,E}, então a probabilidade de que seja esta, a sequência retirada, é $$\frac{1}{C_{5,3}}=\frac{1}{10}$$.

Linha 2:

Há 5 possibilidades de retirada, sendo uma delas a possibilidade considerada para ganhar o prêmio. A probabilidade é $$\frac{1}{5}$$.

Linha 3 e Linha 4:

O número de duplas que podemos retirar, das cinco letras, é $$C_{5,2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$$.

Há apenas uma dupla possível(para cada linha), a probabilidade é $$=\frac{1}{10}$$.

Linha 5:

Há 3 possibilidades de retirada, sendo uma delas a possibilidade considerada para ganhar o prêmio. A probabilidade é $$\frac{1}{3}$$.

Finalmente, a probabilidade de ganhar o prêmio será o produto das probabilidades calculadas anteriormente, uma vez que raspar as letras numa linha é um evento independente de raspar as letras noutra linha.

\[p=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{15000}\]

Resposta: a)

Questão 28

Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento:

• à vista, no valor de R$ 860,00;

• em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois.

A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de:

a) 10%

b) 12%

c) 15%

d) 18%

Solução:

O valor real do fogão corresponde ao valor à vista, de R$ 860,00. No segundo plano de pagamento, o consumidor irá financiar (pagar à prazo) o total equivalente a 860-460=R$ 400,00 , uma vez que o pagamento da entrada faz com que ele empreste menos dinheiro daqui a um mês.

Se o valor final (segunda parcela) é de R$ 460,00. Então, pela fórmula do acréscimo, temos:

\[V_{f}=V_{inicial}(1+i)\Longrightarrow 460=400(1+i)\Longrightarrow i=\frac{460}{400}-1=0,15=15\%\].

Resposta: c)

Questão 29

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Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C1 e C2 , pertencentes ao mesmo plano α. O segmento $$C_{1}C_{2}$$ mede 6 cm.

 

A área da região limitada pelos círculos, em cm2 , possui valor aproximado de:

a) 108

b) 162

c) 182

d) 216

Solução:

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