Resolução – UERJ 2017 (1º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação 2)

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Questão 28

Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto $$P(x_{o},0)$$, sendo $$0<x_{0}<2$$.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de $$x_{o}$$ deve ser igual a:


Questão 29

Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes:

A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1 – Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é primo se P > 1 e tem apenas dois divisores naturais distintos.

2 – A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1.

3 – Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão.

4 – Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números distintos ao acaso.

A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é:

a) 5/12

b) 7/12

c) 13/24

d) 17/24

Solução:

Descrevamos os passos anteriores com os conjuntos obtidos deles.

1. Os primos são {2,3,5,7}. O conjunto obtido é {6,9,15,21}.

2. Os não primos são {0,1,4,6,8,9}. O conjunto obtido é {1,2,5,7,9,10}.

3. O conjunto total obtido é {1,2,5,6,7,9,10,15,21}. Cada número representa um cartão.

Neste conjunto, observe que 3 são pares e 6 são ímpares.

Para que, em uma dupla sorteada, exista, no mínimo, um número par, pode-se ter um par e um ímpar, ou dois pares. Note que, neste exercício, precisamos considerar as duplas híbridas duas vezes; (par,ímpar) é diferentes da dupla (ímpar,par); porque o enunciado pede as duplas em que aparecem, no mínimo, 2 cartões. No caso (par,par) não é necessário fazer o arranjo.

  • Caso (par,ímpar): $$\frac{3\cdot 6}{2!}=9$$
  • Caso (ímpar,par): $$\frac{6\cdot 3}{2!}=9$$
  • Caso (par,par) [Combinação de 3 elementos pares tomados 2 a 2]: $$C_{3,2}=\frac{3cdot 2}{2!1!}=3$$

Ao todo, há 9+9+3 = 21 possibilidades.

Por fim, o número de elementos no espaço amostral é a quantidade de duplas que se pode tirar com aquele conjunto, isto é, a combinação dos 9 elementos tomados 2 a 2.

\[C_{9,2}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9\cdot 8}{2}=36\].

\[p=\frac{21}{36}=\frac{3cdot 7}{3\cdot 12}=\frac{7}{12}\]

Resposta: b)


 

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