Resolução – UERJ 2017 (2º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação2)

Questão 28

Em uma atividade com sua turma, um professor utilizou 64 cartões, cada um com dois algarismos x e y, iguais ou distintos, pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A imagem abaixo representa um tipo desse cartão.

Um aluno escolheu um único cartão e efetuou as seguintes operações em sequência:

I – multiplicou um dos algarismos do cartão escolhido por 5;

II – acrescentou 3 unidades ao produto obtido em I;

III – multiplicou o total obtido em II por 2;

IV – somou o consecutivo do outro algarismo do cartão ao resultado obtido em III.

Ao final dessas operações, obteve-se no sistema decimal o número 73. O cartão que o aluno pegou contém os algarismos cuja soma x + y é:

a) 15

b) 14

c) 13

d) 12

Solução:

Sigamos a sequência de passos realizados pelo aluno. Tomemos dois números do cartão, $$x$$ e $$y$$.

i – Digamos que tenha feito $$5x$$.

ii – $$5x+3$$.

iii – $$2(5x+3)=10x+6$$.

iv – $$(y+1)+10x+6=73\longrightarrow 10x+y+7=73\longrightarrow 10x+y=66$$.

Tomando os possíveis números para $$x$$ e $$y$$, dados no conjunto do enunciado, temos como única possibilidade $$x=6$$ e $$y=6$$, pois $$10\cdot 6 + 6 = 66$$.

Portanto a soma $$x+y=6+6=12$$.

Resposta: d)

Questão 29

336x280_boas_escolhas

Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se $$\frac{1}{2}$$ é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:

a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

Solução:

1) Cálculo da cardinalidade (número de elementos) do espaço amostral [casos favoráveis].

Como há reposição da bola na urna, o total de duplas que podem ser formadas, com $$5+x$$ bolas, é $$(5+x)\cdot (5+x)=x^{2}+10x+25$$.

2) Cálculo da cardinalidade do evento “tirar duas bolas da mesma cor" [casos possíveis].

branca X branca:  Há uma possibilidade apenas de retirar a branca duas vezes, tendo em vista que existe apenas uma bola branca e ela é recolocada na urna após a primeira retirada, caso seja escolhida.

Nos casos

preta X preta : Há $$4\cdot 4= 16$$ possibilidades.

vermelha X vermelha: Há $$x\cdot x=x^{2}$$ possibilidades.

O número de casos possíveis do evento “Saírem duas bolas de mesma cor" é a soma dos casos calculados, ou seja, $$=1+16+x^{2}$$.

3) A probabilidade de serem retiradas duas esferas da mesma cor é o número de casos possíveis dividido pelo número de casos favoráveis e esta fração equivale a (1/2),conforme o enunciado. Isto é, $$p=\frac{x^{2}+17}{x^{2}+10x+25}=\frac{1}{2}\Longrightarrow$$.

\[2x^{2}+34=x^{2}+10x+25\Longrightarrow x^{2}-10x+9\]

Resolvendo por Bhaskara, obtemos $$x=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\frac{10\pm 8}{2}$$.

Assim, $$x=\frac{18}{2}=9$$, ou $$x=\frac{2}{2}=1$$. Eliminamos o caso $$x=1$$, pois, conforme o enunciado, $$x>2$$.

Resposta: a)

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