Matemática Uerj

Resolução – UERJ 2018 – 2° EQ – Matemática (continuação 2)

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Questão

Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é:

a) 3/5

b) 2/3

c) 1/5

d) 1/2

Solução:


Questão

Considere a sequência ($$a_{n}$$) = (2, 3, 1, − 2, …), n ∈ N*, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é:

\[a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}\].

O último termo dessa sequência é:

a) 1
b) 2
c) − 1
d) − 2

Solução:

Observe o exemplo a seguir:

$$a_{5}=a_{4}-a_{3}$$

$$a_{4}=a_{3}-a_{2}$$

$$a_{2}=3$$.

\[a_{5}=a_{4}-a_{3}=a_{3}-a_{2}-a_{3}=-a_{2}=-3\].

Podemos generalizar esta fórmula.

$$a_{n-1}=a_{n-2}-a_{n-3}$$

\[a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}\].

Aplicando a mesma fórmula, obtém-se:

\[a_{n}=-a_{n-3}=-(-a_{n-6})=-a_{n-9}…=(-1)^{r}\cdot a_{n-3r}\].

Isto significa que podemos reduzir qualquer termo desconhecido a qualquer termo conhecido.

 

Conhecemos os termos $$a_{1},a_{2},a_{3}$$ e $$a_{4}$$, apresentados no enunciado.

Para $$n=70$$, basta encontrarmos um $$r$$ cuja expressão reduz-se a um dos termos conhecidos. Podemos reduzir ao $$a_{1}$$, conforme a expressão a seguir:

\[70-3r = 1\Longrightarrow -3r=-69\Longrightarrow r=69/3=23\].

Finalmente, com $$n=70$$ e $$r=23$$, temos:

\[a_{70}=(-1)^{23}\cdot a_{70-3\cdot 23}=-a_{1}=-2\].

Resposta: d)


Questões de Ciências Naturais

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