Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 (1ª Fase) – Matemática (continuação 2)

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Questão

Seja a função ℎ(𝑥) definida para todo número real 𝑥 por

$$ h(x) =\left\{\begin{array}{ll} 2^{x+1},&\mbox{se}\quad x\leq 1,\\ \sqrt{x-1}, &\mbox{se}\quad x> 1. \end{array}\right. $$

Então, ℎ(ℎ(ℎ(0))) é igual a
a) 0.
b) 2.
c) 4.
d) 8.

Solução:

Basta fazermos sucessivas contas.

$$h(0)=2^{0+1}=2$$.

$$h(h(0))=h(2)=\sqrt{2-1}=1$$.

$$h(h(h(0)))=h(h(2))=h(1)=2^{1+1}=4$$.

Resposta: c)


Questão

A figura a seguir exibe o gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3.

O gráfico de 𝑦 = [𝑓(𝑥)]² é dado por

Solução:

No intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, a equação tem a expressão $$y=x$$. O quadrado desta expressão é, simplesmente, $$x^{2}$$. As opções que contemplam este dado são apenas (c) e (d), pois esta parábola tem sua concavidade para cima.

O segundo pedaço da função original é uma reta que intercepta os pontos (1,1) e (2,0).

Da equação $$y=ax+b$$, obtemos as seguintes expressões:

i. $$2a+b=0$$ ;

ii. $$a+b=1$$.

Fazendo $$a=1-b$$ e substituindo o valor na primeira expressão, obtemos $$0=2-2b+b\Longrightarrow b=2$$. Por substituição, $$a=-1$$.

A equação do segundo pedaço é $$y=2-x$$.

Além disso, $$(2-x)^{2}= x^{2}-4x+4$$. Tendo a parábola a concavidade para cima, excluímos a opção (d).

Resposta: c)


Questão

A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão 𝑎/𝑏 é igual a

a) √3 + 1.
b) √2 + 1.
c) √3.
d) √2.

Solução:


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