Resolução – Vestibulinho – COTUCA 2016 – Matemática

Questão 13

Hoje é domingo. A cerimônia de abertura das Olimpíadas do Rio de Janeiro 2016 ocorrerá daqui a
243 dias. Em que dia da semana isso ocorrerá?
a) quinta-feira
b)sexta-feira
c)sábado
d)domingo
e)segunda-feira

Solução:

Dividindo 243 por 7, obtemos o número de semanas existente. Para isso, utilize o algoritmo da divisão de Euclides e mostre o resto desta divisão.

$$243:7 = 34\cdot 7 + 5$$.

Assim, há 34 semanas + 5 dias. O número 5 passa a ser contado a partir do primeiro dia da 34ª semana, isto é, o domingo (dia em que estamos + 34 semanas). Logo a resposta é sexta-feira, isto é, domingo + 5 dias.

Resposta: b)

Questão 14

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Dos 6000 candidatos que realizaram os exercícios propostos em um concurso público, 2500 acertaram o
primeiro e 3000 acertaram o segundo. Sabendo que o número de candidatos que acertou ambos os exercícios é igual à metade daqueles que erraram os dois, quantos acertaram apenas um dos dois exercícios?
a) 1500 candidatos.
b) 2100 candidatos.
c) 2700 candidatos.
d) 3900 candidatos.
e) 4500 candidatos.

Solução:

Denotamos por $$x$$, o número de candidatos que acertaram as duas questões em destaque. Então é correto afirmar que $$2500+3000-x=5500-x$$ é o número de pessoas que acertaram ao menos uma das questões. Note que os números fornecidos, 2550 e 3000, referem-se ao universo de candidatos que acertaram cada uma das questões, respectivamente.

Por isso, é necessário remover da contagem a quantidade $$x$$.

E o número de pessoas que erraram as duas questões é equivalente a $$6000-(5500-x)=500+x$$,ou seja, é o total de candidatos menos o número daqueles que acertaram ao menos uma questão.

Pela informação dada, o número de candidatos que acertaram ambas é metade do número de candidatos que erraram ambas, ou seja,

\[x=\frac{500-x}{2}\longrightarrow 2x=500-x\longrightarrow 2x-x=x=500\].

Sabendo que $$x=550$$, então o número de candidatos que acertou apenas a questão 1 é $$2500-500=2000$$ e o número daqueles que acertaram apenas a questão 2 é $$3000-500=2500$$.

No total, o número daqueles que acertaram apenas uma delas é $$2000+2500=4500$$.

Resposta: e)

Questão 15

Marcos comprou duas bicicletas. Vendeu uma para Gabriela por R$ 600,00, o que lhe trouxe um prejuízo de 25%, e a outra para Ana, também por R$ 600,00 , o que lhe deu um lucro de 25%. Qual foi seu saldo final, em reais?
a)-80,00
b)+80,00
c)0,00
d)-150,00
e)+150,00

Solução:

Lembre-se das fórmulas de acréscimo ($$V_{final}=V_{inicial}(1+i\%)$$) e desconto ($$V_{final}=V_{inicial}(1-i\%)$$).

O valor de compra da primeira bicicleta foi $$x$$. Se ele vendeu por R$ 600,00 e obteve prejuízo de 25%, então a fórmula do desconto (prejuízo) pode ser aplicada, com valor final = R$ 600,00 e $$i=25\%$$.

\[600=x\cdot (1-25\%)\Longrightarrow x=\frac{600}{1-0,25}=R\$ 800\].

 

O valor de compra da segunda bicicleta foi $$y$$. Se ele vendeu por R$ 600,00 e obteve lucro de 25%, então a fórmula do acréscimo (lucro) pode ser aplicada, com valor final = R$ 600,00 e $$i=25\%$$.

\[600=y\cdot (1+25\%)\Longrightarrow y=\frac{600}{1+0,25}=R\$ 480,00\].

No início, ele tinha 480+800 = R$ 1280,00, antes da compra.

Após a venda das bicicletas, ele arrecadou 600+600 = R$ 1200,00. Ou seja, ele fez um saldo de 1200-1280=-R$ 80,00.

Resposta: a)

Questão 16

João fez uma viagem de carro entre as cidades A e B. Na ida, usou apenas álcool no tanque e seu carro fez 6km por litro. Na volta, apenas com gasolina no tanque, fez 8km por litro. No total, João gastou
28 litros de combustível nessa viagem. Qual é a distância entre as cidades A e B?
a)72km
b)80km
c)84km
d)90km
e)96km

Solução:

Seja $$x$$ o consumo volumétrico de álcool e seja $$y$$ o consumo volumétrico de gasolina.

A distância percorrida na ida é seis vezes o volume de combustível gasto, pois a cada 1 litro ele percorre 6 Km, portanto a distância na ida foi de $$6x$$.

A distância percorrida na volta é 8 vezes o volume de gasolina utilizada, pois a cada um litro, ele percorre 8Km, portanto a distância na volta foi de $$8y$$.

A distância na ida e na volta é a mesma, então $$6x=8y\longrightarrow 3x-4y=0$$.

E o total de combustível foi de 28L, isto é, $$x+y=28$$.

Temos, portanto, o sistema

$$3x-4y=0$$.

$$x+y=28$$.

Faça $$x+y=28\longrightarrow x=28-y$$ e $$3x-4y=3(28-y)-4y=0\longrightarrow 84-7y=0$$.

$$y=84/7=12$$.

Assim, a distância percorrida é de $$8y=8\cdot 12= 96Km$$.

Resposta: e)

Questão 17

O  perímetro de uma  quadra retangular de vôlei é 54m, sendo que a rede a divide em dois quadrados de mesma medida. Com essas informações, a medida, em metros, de uma diagonal da quadra é:

a) $$9\sqrt{3}$$

b) 18

c) $$9\sqrt{5}$$

d) $$9\sqrt{6}$$

e) $$9\sqrt{7}$$

Solução:

[sociallocker id=1761]

Observando a figura, nota-se que o lado maior do retângulo é idêntico a duas vezes o lado menor.

Então, do perímetro, temos $$2x+2y=54 \longrightarrow 2x+2(2x)=2x+4x=6x=54\longrightarrow x=9$$.

Além disso, $$y=2x=2\cdot 9=18$$.

A diagonal de um retângulo de lados $$x$$ e $$y$$ é $$d^{2}=x^{2}+y^{2}$$.

Deste modo, \[d^{2}=9^{2}+18^{2}= 405\longrightarrow d=\sqrt{405}= \sqrt{5\cdot 9\cdot 9}=9\saqrt{5}\].

Resposta: c)

[/sociallocker]

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