Álgebra de Anéis: inteiros módulo n (exercícios)

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Questão

Seja n um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel (Z/nZ) não é um domínio.

Solução: 

Podemos escolher a,bZ, distintos e positivos, de modo que ab=n, uma vez que n não é um número primo (pela teorema de decomposição em números primos, no mínimo, n=pp, com p primo). Realizando o produto das classes de equivalência, notamos o que vem a seguir:

a¯b¯=ab=n¯.

Por definição, n¯=nZ=0¯, ou seja, este é o elemento neutro aditivo, resultado de um produto de dois elementos distintos do referido elemento. Portanto este conjunto não é um domínio de integridade.


 


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