Olá, pessoal. Neste artigo, discutiremos os Espaços Vetoriais, o primeiro conteúdo ensinado nos cursos de Álgebra Linear para graduação.
Um conjunto $$\mathbb{V}\neq \varnothing$$ é dito ser um espaço vetorial sobre um corpo algébrico $$\mathbb{K}$$, se existirem as seguintes operações:
1. \[ \left\{ \begin{array}{lc} +: & \mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V} \\ \;& \;(v,w)\mapsto v+w. \end{array} \right. \].
2. \[ \left\{ \begin{array}{lc} \cdot: & \mathbb{K}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V} \\ \;& \;(\lambda,v)\mapsto \lambda v. \end{array} \right. \].
Além disso, as operações definidas anteriormente devem seguir os axiomas a seguir, para $$v,w,u\in\mathbb{V}$$ e $$\alpha,\beta\in\mathbb{K}$$.
- i) $$v+w=w+v$$.
- ii) $$(v+w)+u=v+(w+u)$$.
- iii) Existe um elemento $$0_{V}\in\mathbb{V}$$, tal que $$v+0_{V}=0_{V}+v=v$$, para todo $$v\in\mathbb{V}$$.
- iv) Existe um elemento $$(-v)\in\mathbb{V}$$, tal que $$v+(-v)=(-v)+v=0_{V}$$.
- v) $$\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v$$.
- vi) $$(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$$.
- vii) $$\alpha(v+w)=\alpha v+\alpha w$$.
- viii) O $$1$$ escalar tem a seguinte propriedade $$1\cdot v=v$$.
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