Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 1)

Seja A uma matriz hermitiana de ordem $$n$$, com coeficientes complexos. Defina $$r(x)=x^{*}Ax$$. Prove que $$max_{||x||=1}\{r(x)\}=max\{\Lambda(A)\}$$. Prove o resultado análogo para o mínimo.

Observação: $$\Lambda(A)$$ é o conjunto de todos os autovalores em módulo da matriz $$A$$.

Solução:

Pelo teorema espectral, decompomos a matriz na forma $$A=UDU^{*}$$, onde $$D$$ é a matriz diagonal, com os autovalores de $$A$$, e $$U$$ é uma matriz unitária (ortogonal).

\[r(x)=x^{*}UDU^{*}x=(U^{*}x)^{*}D(U^{*}x)\].

Pondo $$z=U^{*}x$$, vemos que a norma euclidiana $$||z|| = ||U^{*}x||=||x||$$.

Basta, portanto, calcularmos o máximo para $$||z|| = ||x|| = 1$$. Adote $$z=(z_{1},..,z_{n})$$.

Com efeito, $$z^{*}Dz = z^{*}(\lambda_{1}z_{1},…,\lambda_{n}z_{n})=\sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}\cdot z_{i}\overline{z_{i}}=\sum^{n}_{i=1}\lambda_{i}||z_{i}||^{2}$$.

Agora, para calcularmos o máximo de $$r(x)$$, quando $$||z||^{2}=|z_{1}|^{2}+…+|z_{n}|^{2}=1$$, basta fazermos $$||z_{k}||^{2}=1$$ e $$||z_{i}||^{2}=0$$, para $$i\neq k$$, com $$|\lambda_{k}|$$, o maior valor dentre os módulos dos autovalores da matriz (espectro). Portanto $$max_{||x||=1} (r(x)) = max \Lambda (A)$$.