Seja $$P=I-uu^{T}$$, em que $$u=e_{r}-e_{s}$$, e $$e_{i}$$ é um elemento da base canônica de $$\mathbb{R}^{n}$$.
Descreva o resultado do produto matricial $$e^{t}_{j}P$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$.
Solução:
Desenvolvendo-se o produto, tem-se
\[e^{T}_{j}P=e^{T}_{j}(I-(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T})=e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T} =\]
\[\; e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T}(\ast) \]
i) Se $$j\neq r $$ e $$j\neq s$$, $$e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{j}e_{r}-e^{T}_{j}e_{s}=0+0=0$$.
Daqui,
\[(\ast) = e^{T}_{j}-0(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{j}.\]
ii) Se $$j=r$$, $$e^{T}_{r}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{r}e_{r}-e^{T}_{r}e_{s}=1-0=1$$.
Daqui,
\[(\ast) = e^{T}_{r}-1(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{r}-e^{T}_{r}+e^{T}_{s}=e^{T}_{s}.\]
iii) Se $$j=s$$, $$e^{T}_{s}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{s}e_{r}-e^{T}_{s}e_{s}=0-1=-1$$.
Daqui,
\[(\ast) = e^{T}_{s}-(-1)(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{s}+e^{T}_{r}-e^{T}_{s}=e^{T}_{r}.\]
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