Questão
Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove:
i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow F$$ é invertível, e $$A^{*}(AA^{*})^{-1}: F\longrightarrow E$$ é uma inversa à direita de $$A$$.
ii) Se $$A$$ é injetiva, então $$A^{*}A: E\longrightarrow E$$ é invertível e $$(A^{*}A)^{-1}A^{*}$$ é uma inversa à esquerda de $$A$$.
Solução:
i) Provaremos que $$AA^{*}=T$$ é injetiva, isto é, $$\mathcal{N(T)}={0_{F}}$$.
Seja $$y\in F$$ tal que $$AA^{*}y=0$$. Pela propriedade do operador adjunto, temos $$0=<AA^{*}y;z>=<A^{*}y;A^{*}z>$$. Pondo $$y=z$$, temos $$0=<A^{*}y;A^{*}y>$$, o que implica em $$A^{*}y=0$$, isto é, $$y\in \mathcal{N(A^{*})}$$.
Como $$A$$ é sobrejetiva, então $$\mathcal{Im}(A)=F$$.
Ademais, porque $$y\in \mathcal{N(A^{*})}$$ e este subespaço é ortogonal à imagem da função $$A$$, é verdade que $$<Ax,y>=0$$. Como a função é sobrejetora, podemos colocar a existência de $$x\in E$$ tal que $$Ax=y$$. Deste modo, $$<y,y>=0$$ se, e somente se, $$y=0$$. Portanto o núcleo de $$T$$ é nulo.
Para concluir: pelo teorema do Núcleo de da Imagem, $$dim(F)=dim(\mathcal{N}(T))+dim(\mathcal{Im}(T))\Longrightarrow dim(F) = dim(\mathcal{Im}(T))$$, portanto a função é sobrejetiva (lembre-se de que $$\mathcal{Im}(T)$$ é subespaço de $$F$$).
ii)
Seja $$T=A^{*}A$$, e seja $$x\in E$$ tal que $$Tx=0$$. Pela propriedade do operador adjunto, temos $$0=<x,A^{*}Ax>=<Ax,Ax>\Longrightarrow Ax=0$$. Assim, $$x=0$$ porque $$A$$ é injetiva.
Provamos que $$\mathcal{N}(A^{*}A)=\{0\}$$. Pelo teorema do núcleo e da imagem, $$T$$ é sobrejetiva.
Para concluir a existência das inversas à direita e à esquerda, em ambos os itens, basta provar que a propriedade decorre do fato de ambas as funções serem invertíveis.
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