Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão $$n$$. Para todo $$k\in\{2,3,…n\}$$, exiba um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$ tal que $$A^{k}=0$$, mas $$A^{j}\neq A^{k})$$, para $$j<k$$.
Solução:
Caso $$n=2$$. Seja a base do espaço igual a $$\{v_{1},v_{2}\}$$. Seja um vetor $$w\in E$$, então $$w=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}$$, para alguns $$\alpha_{1,2}$$.
Seja $$A$$ que opere do seguinte modo:
$$\alpha_{1}v_{1}\mapsto \alpha_{2}v_{1}$$;
$$\alpha_{2}v_{2}\mapsto 0v_{2}$$.
O operador está zerando a coordenada de $$w$$ para o segundo vetor da base e está jogando a coordenada do segundo vetor no primeiro vetor.
Agora, façamos $$A^{2}$$.
$$\alpha_{2}v_{1}\mapsto 0\cdot v_{1}$$;
$$0\cdot v_{2}\mapsto 0v_{2}$$.
Isto mostra que o operador $$A^{2}=0$$.
Para o caso geral, basta fazer o seguinte operador, para $$w=\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n}v_{n}$$: $$A(w) = \alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n-1}v_{n-1}$$. Isto é, ele anula a última coordenada.
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