Solução:

Primeiro precisamos descobrir quanto pesa a gota de água.

1g ———- 1mL

m ———- 0,05mL

m = 0,05g de água

Agora vamos descobrir quantos mols tem nessa massa de água.

18g ———- 1 mol

0,05g ———- x

x = 0,05/18 mol de água

Agora vamos calcular quantas moléculas de água há nessa quantidade de mol.

1 mol ———- $$6\cdot 10^{23}$$ moléculas

$$\frac{0,05}{18}$$ mol ———- y

$$y = \frac{0,05}{18} \cdot 6\cdot 10^{23}$$ moléculas.

A fórmula da água é $$H_{2} O$$, portanto cada molécula de água possui 2 átomos de hidrogênio. Logo, temos que multiplicar o número de moléculas de água encontrado por 2.

$$z = \frac{0,05}{18} \cdot 6\cdot 10^{23}\cdot 2 \longrightarrow z = \frac{30}{9}\cdot 10^{21}$$

Resposta: letra C.

O post A densidade da água a 25 ºC é 1,0 g/mL. O número apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) c ≤ 1/4
b) c ≥ 1/4
c) c ≤ 1/2
d) c ≥ 1/2
e) c ≤ 1

Gabarito: a)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Se f: R → R e g: R → R são funções dadas por f(x) = c + x² apareceu primeiro em Educacional Plenus.

O valor de a+b+c é
(A) –2
(B) 0
(C) 2
(D) 4
(E) 6

Gabarito: b)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Considere a função polinomial ݂f : R → R definida por ax²+bx+c apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20

Solução:
O número de homens (y) + o número de mulheres (x) fornece a equação $$x+y=37$$.
A quantidade de duplas de homens que podem ser feitas é dada por $$C_{y,2}=\frac{y!}{2!(y-2)!}=\frac{y^{2}-y}{2}$$.

A quantidade de duplas em que um componente é mulher e o outro é homem é dada por $$x\cdot y$$. Em função de $$y$$, temos $$y\cdot(37-y)=37y-y^{2}$$.

Seguindo as regras dos apertos e acenos, cada dupla masculina produz dois apertos e cada dupla mista produz apenas um aperto. Uma vez que o total é de 720 apertos, temos a equação

\[2\cdot \frac{y^{2}-y}{2} + 37y-y^{2} = 720\Longrightarrow \]

\[36y = 720 \longrightarrow y = 20.\]

O total de mulheres é $$x = 37-20 =17$$.

O post FUVEST – Em uma certa comunidade, dois homens sempre apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00

Solução:
A fórmula dos Juros Compostos é dada por $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1+i)$$, em que $$i$$ é o percentual de juros. Se somarmos os capitais de João(x), Maria(y) e Antônia(z), teremos a equação $$x+y+z=100.000$$.

Após um ano de aplicação, cada u ficou com um capital de $$V_{inicial}(1+10%) = 1,1\cdot V_{inicial}$$. Então os três amigos ficaram, respectivamente, com $$1,1x, 1,1y$$ e $$1,1z$$. Após mais um ano de rentabilidade a 10%, cada amigo terá $$1,1\cdot V_{inicial}\cdot (1+10%) = 1,21\cdot V_{inicial}$$, logo os capitais de cada um são, respectivamente $$1,21x, 1,21y$$ e $$1,21z$$.

Ao final do primeiro ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 + o dobro do capital atualizado de João, então ela obteve $$1,1z = 11.000 + 2,2x$$. Podemos reescrever essa equação deste modo: $$1,1z-2,2x = 11.000$$, então $$z-2x = 10.000$$.

Ao final do segundo ano, Antônia passou a ter a soma dos capitais atualizados de João e Maria, isto é: $$1,21z = 1,21x+1,21y$$, logo $$z=x+y$$. As equações do sistema são:

• x+y+z = 100.000
• z-2x=10.000
• z=x+y.

Substituindo ‘z’ nas duas primeira equações, obtemos $$2x+2y = 100.000$$ e $$y-x = 10.000$$. Se multiplicarmos a segunda dessas equações por (-2) e somarmos à primeira delas, obtemos

\[4x = 100.000 – 20.000 = 80.000.\]

Daqui, temos $$x=R\$ 20.000,00$$.

O post FUVEST – João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.

Solução:
Resolvendo, por Bháskara, a equação do segundo grau, obtemos

\[t=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot(-6)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}.\]

As soluções possíveis são $$t=3$$ ou $$t=-2$$. Como $$t=|x-y|$$, só podemos tomar o valor $$t=3$$, uma vez que o módulo sempre resulta em um número positivo. Assim, teremos duas possibilidades: x-y = 3 ou y-x = 3, duas equações de reta. O conjunto de pontos é a união de duas retas no plano cartesiano.

O post FUVEST – O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15

Solução:
Coloquemos os termos da progressão aritmética do seguinte modo: (a-r), a, (a+r), em que $$r$$ é a razão e o termo central é $$a$$. Se somarmos os três termos, teremos o resultado igual a 30, logo $$3a = a-r+a+a+r = 30$$, então $$a=10$$.

Coloquemos, agora, os termos, somados aos números do enunciado, em progressão geométrica. Temos a sequência (14-r), 6 , 1+r. Uma propriedade da progressão geométrica diz que o termo que se situa entre outros dois terá seu quadrado igual ao produto dos seus vizinhos, isto é:

\[(14-r)(1+r)=6^{2}=36.\]

Assim, temos a equação do segundo grau $$r^{2}-13r+22=0$$. Por Bhaskara, as raízes serão $$r=11$$ ou $$r=2$$. Observe que, ao substituirmos os valores na sequência, teremos duas possibilidades:

• -1,10,21;
• 8,10,12 .

O único termo que está presente no gabarito é igual a 12.

O post Progressão Geométrica – Exercício 31 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Solução:
Sejam a,b e c elementos do conjunto {1,2,…,9}, e seja N = 100a+10b+c. Ao fazermos $$N-396$$, obtemos 100(a-3) + 10(b-9)+(c-6). Além disso, $$a+b=8$$.

As possibilidades para o resultado de a-3, b-9 e c-6 estão no conjunto {a,b,c}.

• Se $$a-3 = a$$, teremos $$0=-3$$, o que é absurdo.
• Se $$a-3 = b$$, teremos, $$a+a-3 = 8$$, logo $$a=6$$.
• Se $$a-3=b$$, há duas possibilidades.

A primeira delas ocorre com $$b-9 = c$$ e $$c-6 = b$$. Somando as duas equações, obteríamos o estapafúrdio resultado de $$-9-6 = 0$$. A segunda opção seria $$b-9 = b$$, que também indica um absurdo. Portanto a única opção viável é $$a=6$$.

O post FUVEST – Um número natural N tem três algarismos apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

Solução:

O número procurado é $$x$$.

O espaço amostral terá um total de $$\frac{(6+x)\cdot (5+x)}{2!}$$ possibilidades, isto é, o número de de pares que podemos formar com 6 bolas azuis e $$x$$ bolas vermelhas, sem que a ordem importe (combinação dos (6+x) elementos tomados 2 a 2.

O evento (tirar duplas azuis) terá um total de $$\frac{6\cdot 5}{2!}$$ possibilidades, isto é, a combinação entre os 6 elementos, tomados 2 a 2.

A probabilidade de que duas bolas azuis sejam retiradas, equivalendo-se a 1/3, será
\[p=\frac{\frac{(6+x)\cdot (5+x)}{2!}}{\frac{6\cdot 5}{2!}}=\frac{1}{3}\Longrightarrow 90=(6+x)cdot (5+x)\Longrightarrow x^{2}+11x-60=0\].

Resolvendo por Bhaskara, obtém-se
\[x=\frac{-11\pm\sqrt{121-4\cdot(-60)}}{2}=\frac{-11+19}{2}\].
Escolhendo apenas o valor positivo, temos $$x=4$$.

O post FUVEST 2016 – 1ª Fase – Questão 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
CPRA = [Iniciais dos nomes de cada um dos amigos]

O espaço amostral é composto por $$4!=24$$ possibilidades, o que representa todas as disposições possíveis.

Agora, para calcularmos a quantidade de configurações em que cada pessoa não retira o próprio nome, infelizmente, teremos de observar uma por uma. As iniciais dos nomes serão utilizadas para compor a ordem.

Alguns Casos: ACPR, ARPC, ARCP…
Procedendo desta maneira, chegamos à conclusão de que existem 9 possibilidades de configuração. A probabilidade será a divisão entre este valor e o número do espaço amostral.
\[p=\frac{9}{16}\]

O post FUVEST 2017 – 1ª Fase – Questão 83 apareceu primeiro em Educacional Plenus.