Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se
cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram
juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram
mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
Solução:
O número de homens (y) + o número de mulheres (x) fornece a equação $$x+y=37$$.
A quantidade de duplas de homens que podem ser feitas é dada por $$C_{y,2}=\frac{y!}{2!(y-2)!}=\frac{y^{2}-y}{2}$$.
A quantidade de duplas em que um componente é mulher e o outro é homem é dada por $$x\cdot y$$. Em função de $$y$$, temos $$y\cdot(37-y)=37y-y^{2}$$.
Seguindo as regras dos apertos e acenos, cada dupla masculina produz dois apertos e cada dupla mista produz apenas um aperto. Uma vez que o total é de 720 apertos, temos a equação
\[2\cdot \frac{y^{2}-y}{2} + 37y-y^{2} = 720\Longrightarrow \]
\[36y = 720 \longrightarrow y = 20.\]
O total de mulheres é $$x = 37-20 =17$$.
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