Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1/3?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
Solução:
O número procurado é $$x$$.
O espaço amostral terá um total de $$\frac{(6+x)\cdot (5+x)}{2!}$$ possibilidades, isto é, o número de de pares que podemos formar com 6 bolas azuis e $$x$$ bolas vermelhas, sem que a ordem importe (combinação dos (6+x) elementos tomados 2 a 2.
O evento (tirar duplas azuis) terá um total de $$\frac{6\cdot 5}{2!}$$ possibilidades, isto é, a combinação entre os 6 elementos, tomados 2 a 2.
A probabilidade de que duas bolas azuis sejam retiradas, equivalendo-se a 1/3, será
\[p=\frac{\frac{(6+x)\cdot (5+x)}{2!}}{\frac{6\cdot 5}{2!}}=\frac{1}{3}\Longrightarrow 90=(6+x)cdot (5+x)\Longrightarrow x^{2}+11x-60=0\].
Resolvendo por Bhaskara, obtém-se
\[x=\frac{-11\pm\sqrt{121-4\cdot(-60)}}{2}=\frac{-11+19}{2}\].
Escolhendo apenas o valor positivo, temos $$x=4$$.
