$$\frac{\bar{z}}{z-2i} + \frac{2z}{\bar{z}+2i} = 3 $$ e $$|z-2i|\leq 1$$.

Solução:

O post Determine o conjunto A formado apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Dado que $$z=1-i$$, temos $$a=1$$ e $$b=-1$$, na forma algébrica de um complexo (z=a+bi).
O módulo é $$|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$.

O argumento do número complexo é dado pelas funções trigonométricas $$cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ e $$sen(\alpha) = \frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Isso implica que $$\alpha = -\pi/4 \; rad$$.

Então a potência é dada por

\[z^{10}=(\sqrt{2})^{10}\cdot (cos[-\frac{\pi}{4}\cdot 10] + i\cdot sen[-\frac{\pi}{4}\cdot 10]).\]

Observe que $$\frac{-\pi}{4}\cdot 10 = \frac{-5\pi}{2}$$ e que este último está no mesmo lugar de $$\frac{-\pi}{2}$$, no círculo trigonométrico, portanto $$cos[\frac{-\pi}{4}\cdot 10]=0$$ e $$sen[-\frac{\pi}{4}\cdot 10] = -1$$.

Daqui, $$z^{10}=\sqrt{2}^{10}\cdot (-i) = -32i$$.

O post Complexos – Forma Trigonométrica – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Gabarito: d)
Solução no vídeo a seguir:

O post EsPCEx 2022 – Questão 20 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A)1 − i.
B)i − 1.
C)−1 − i.
D) i.
E) −i.

Gabarito: e)
Solução:

O post ITA 2023 – Q.38 – Prova Objetiva apareceu primeiro em Educacional Plenus.

(A) 13√2
(B) √458
(C) √218
(D) 15√3
(E) 10√5

Solução:
Podemos usar a propriedade que diz que o módulo do produto de números complexos é o produto dos módulos. z = (3-2i).(5i-1), calculamos os módulos de cada um dos fatores, separadamente, e depois multiplicamos seus valores.

No caso de (3-2i), o módulo é $$\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$$.
No caso de (-1+5i), o módulo é $$\sqrt{(-1)^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$$.

Obtemos, portanto,

\[|z|=\sqrt{13}\sqrt{26}=\sqrt{13\cdot 26}=\sqrt{13^{2}\cdot 2}=13\sqrt{2}.\]

O post FEI – 2022 – Engenharias – Questão 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 0.
b) 1.
c) 1+i.
d) ݅i.

Solução:

Não precisamos aplicar a soma de uma progressão geométrica! Basta observarmos duas coisas:

1) Na soma em questão, o fator $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$ ocorre diversas vezes. Por exemplo, nós sabemos, das potências de i, que $$i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$.

Como o último expoente é o 2013, basta fazermos a divisão inteira por 4, ou seja, $$2013:4 = 503\cdot 4 + 1$$. Assim, observamos que aquela soma ocorre 503 vezes.

Além disso, $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=i-1-i+1=0$$. Ou seja,

\[i^{0}+i+…+i^{2013}=i^{0}+(i^{1}+i^{2}+…+ i^{2012})+i^{2013}\]

\[=i^{0}+ 503\cdot (i+i^{2}+i^{3}+i^{4})+i^{2013}=1+i^{2013}.\]

2) Utilizando a mesma divisão inteira, podemos escrever $$i^{2013}=i^{503\cdot 4 + 1}=(i^{4})^{503}\cdot i = i$$. Temos, portanto, a soma equivalente a $$1+i$$.

Resposta: c)

O post UNICAMP 2013 – 1ª Fase – Q.48 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Já sabemos que a unidade imaginária dos complexos é definida como $$i^{2}=-1$$. Se quisermos calcular, por exemplo, $$i^{3}$$, como podemos fazer? Simples! Podemos escrever, usando a propriedade das potências dos números reais, que

\[i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i\].

Procedemos do mesmo modo com $$i^{4}$$:

\[i^{4}=i^{2}\cdot  i^{2}=(-1)(-1) = 1.\]

A partir daqui, sempre encontraremos os mesmos valores. Observe:

\[i^{7}=i^{3}\cdot i^{3}\cdot i = (-i)(-i)i = -i.\]

Aqui está o pulo do gato: as potências inteiras positivas da unidade imaginária sempre pertencerão ao conjunto $$\{1,i,-1,-i\}$$, de modo que as primeiras potências listadas são

• $$i^{0}=1$$;
• $$i^{1}=i$$;
• $$i^{2}=-1$$;
• $$i^{3}=-i$$; e
• $$i^{4}=1$$.

A cada quatro inteiros positivos, as potências se repetem!

Resto da divisão por 4

Para facilitar a nossa vida, memorizamos as potências de $$i,i^{2},i^{3}$$ e $$i^{4}$$, e potências maiores são calculadas pelo resto da divisão do expoente por 4. Veja o exemplo de $$i^{121}$$:

\[121 = 4\cdot 30 + 1.\]

Escrevemos

\[i^{121} = i^{4\cdot 30 + 1}=(i^{4})^{30}\cdot i = 1^{30}\cdot i = i.\]

Bastaria que fizéssemos $$i^{121}=i^{1}=i$$.

Qualquer potência superior a 4, portanto, pode ser igualada a potências de seus respectivos restos!

Exemplo: Quanto é $$i^{139}$$? Veja a resposta! 

O post Potências de i apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) z = 0 + 1i.
b) z = 0 + 0i.
c) z = 1 + 0i.
d) z = 1 + i.
e) z = 1 – i.

Solução:

Escrevemos $$z=a+bi$$, portanto $$\bar{z}=a-bi$$. Desenvolvendo $$zi$$, temos $$(a+bi)i=ai+bi^{2}=ai-b$$.

Assim, substituindo os achados na equação do enunciado, temos

\[z + 2\bar{z} = 2 – zi=\]

\[a+bi+2(a-bi)=2-(ai-b)=\]

\[a+bi+2a-2bi=2-ai+b\Longrightarrow (3a-b-2)+(a-b)i=0.\]

Isso fornece um sistema de equações:

$$3a-b=2$$ e $$a-b=0$$. A segunda equação implica $$a=b$$, logo, substituindo na primeira, temos

$$3a – a = 2$$, que implica $$a=1$$ e $$b=1$$.

Desse modo, z=1+i.

O post Números Complexos – Exercício 15 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) −2−4i
B) −2+4i
C) 2−4i
D) −2+2i
E) −2−2i

Solução:

Como i² = -1, calculamos que $$(1+i)(3-i)=3-i+3i-i^{2}= 4 + 2i$$.

Agora, calculamos que $$(4+2i)i = 4i + 2i^{2} = 4i – 2$$. Este último resultado equivale ao produto  (1 + i) . (3 − i) . i. O conjugado do número complexo z é $$\bar{z} = -2 – 4i$$.

Resposta: a)

O post Números Complexos – Exercício 14 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) – 63 + 16 i
B) – 63 – 16 i
C) – 63
D) 2
E) 65

Solução:

Observe que o conjugado do número complexo em questão é dado por $$\bar{z} = 1 – 8i$$. Assim, temos a multiplicação

\[(1+8i)(1-8i)=1-8i+8i – 64i^{2}=1+64 = 65. \]

Resposta: e)

O post Números Complexos – Exercício 13 apareceu primeiro em Educacional Plenus.