Sendo $$\bar{z}$$ o conjugado do número complexo z e i a unidade imaginária, o número complexo z que satisfaz a condição $$z + 2\bar{z} = 2 – zi$$ é:
a) z = 0 + 1i.
b) z = 0 + 0i.
c) z = 1 + 0i.
d) z = 1 + i.
e) z = 1 – i.
Solução:
Escrevemos $$z=a+bi$$, portanto $$\bar{z}=a-bi$$. Desenvolvendo $$zi$$, temos $$(a+bi)i=ai+bi^{2}=ai-b$$.
Assim, substituindo os achados na equação do enunciado, temos
\[z + 2\bar{z} = 2 – zi=\]
\[a+bi+2(a-bi)=2-(ai-b)=\]
\[a+bi+2a-2bi=2-ai+b\Longrightarrow (3a-b-2)+(a-b)i=0.\]
Isso fornece um sistema de equações:
$$3a-b=2$$ e $$a-b=0$$. A segunda equação implica $$a=b$$, logo, substituindo na primeira, temos
$$3a – a = 2$$, que implica $$a=1$$ e $$b=1$$.
Desse modo, z=1+i.
