Category Theory
0

Categories – Exercise 1

[Two-out-of-three property]  Let f: A→B and g: B→ C be two morphisms. If $$g$$ and $$gf$$ are isomorphisms, then so is f$$.

Solution:

There exists h: C→A such that $$(gf)\circ h = I_{C}$$. By hypothesis, $$g$$ is an isomorphism, so

\[(gf)\circ h = I_{C}\Longrightarrow\]

\[g^{-1}(gf)\circ h = g^{-1}I_{C}=g^{-1} \Longrightarrow\]

\[f\circ h \circ g= g^{-1}g=I_{C}\Longrightarrow\]

\[f\circ h=I_{C}.\]

We have the same script for the left inverse:

\[h\circ (gf) = I_{A}\]

From the uniqueness of $$f^{-1}$$, $$f^{-1}=(h\circ g)$$.

Tags: categories

Você pode se interessar também por…

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Preencha esse campo
Preencha esse campo
Digite um endereço de e-mail válido.
Você precisa concordar com os termos para prosseguir

Veja também