Definição de Função Contínua – Exercício 2

Prove pela definição que $$f(x) = \sqrt{x}$$ é contínua em $$p=4$$.

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Solução:

Sabemos que $$f(4)=\sqrt{4}=2$$. Escrevemos, na forma de rascunho, as duas expressões-alvo que aparecem na definição de uma função contínua. São elas

\[|f(x)-f(4)=|\sqrt{x}-2|\text{e}\]

\[|x-4|<\delta.\]

Note que $$|x-4| = |\sqrt{x}-2||\sqrt{x}+2|$$. Se tivermos

\[|x-4|<\delta,\]

podemos escrever

\[ |\sqrt{x}-2||\sqrt{x}+2|<\delta \Longrightarrow |\sqrt{x}-2|<\frac{\delta}{|\sqrt{x}+2|}(*).\]

Como $$\sqrt{x}+\sqrt{2}\geq \sqrt{2}$$, para todo $$x$$ no domínio, a desigualdade $$(*)$$ torna-se

\[|\sqrt{x}-2|<\frac{\delta}{\sqrt{2}}.\]

Assim, basta escolhermos $$\delta = \sqrt{2}\epsilon$$, de modo que, para qualquer ε>0, teremos $$\delta = \sqrt{2}\epsilon >0$$ tal que, se $$|\sqrt{x}-2||\sqrt{x}+2|=|x-4|<\delta$$, então

\[|\sqrt{x}-2|<\frac{\delta}{\sqrt{2}}=\epsilon.\]