Definição de Função Contínua – Exercício 2

Prove pela definição que $$f(x)=\sqrt{x}$$ é contínua em $$p=4$$.

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Solução:

Sabemos que $$f(4)=\sqrt{4}=2$$. Escrevemos, na forma de rascunho, as duas expressões-alvo que aparecem na definição de uma função contínua. São elas

$$|f(x)-f(4)=|\sqrt{x}-2|\text{e}$$

$$|x-4|<\delta .$$

Note que $$|x-4|=|\sqrt{x}-2||\sqrt{x}+2|$$. Se tivermos

$$|x-4|<\delta ,$$

podemos escrever

$$|\sqrt{x}-2||\sqrt{x}+2|<\delta ⟹|\sqrt{x}-2|<\frac{\delta }{|\sqrt{x}+2|}(\ast ).$$

Como $$\sqrt{x}+\sqrt{2}\ge \sqrt{2}$$, para todo $$x$$ no domínio, a desigualdade $$(\ast )$$ torna-se

$$|\sqrt{x}-2|<\frac{\delta }{\sqrt{2}}.$$

Assim, basta escolhermos $$\delta =\sqrt{2}ϵ$$, de modo que, para qualquer ε>0, teremos $$\delta =\sqrt{2}ϵ>0$$ tal que, se $$|\sqrt{x}-2||\sqrt{x}+2|=|x-4|<\delta$$, então

$$|\sqrt{x}-2|<\frac{\delta }{\sqrt{2}}=ϵ.$$