Prove que a função $$f(x)=\frac{1}{x}$$ é contínua em todo $$p\neq 0$$.
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Solução:
Inicialmente, façamos um rápido rascunho. Se $$|x-p|<\delta$$, para algum δ>0, podemos escrever que
\[\frac{|p-x|}{|p||x|}\leq \frac{\delta}{|p|(|\delta + |p|)}\leq \frac{\delta}{|p|^{2}},\]
pois $$|x-p|<\delta$$ implica $$|x|<\delta + |p|$$ e $$\delta + |p| \geq |p|$$.
Basta escolhermos $$\delta = |p|^{2}\epsilon$$, para que, dado qualquer ε>0, existe $$\delta = |p|^{2}\epsilon>0$$ tal que, se $$|x-p|<\delta$$, então
\[\frac{|p-x|}{|p||x|}\leq \frac{\delta}{|p|(|\delta + |p|)}\leq \frac{\delta}{|p|^{2}}.=\epsilon.\]
Como
\[|f(x)-f(p)|=|\frac{1}{x}-\frac{1}{p}|=\frac{|p-x|}{|p||x|},\]
concluímos que $$|f(x)-f(p)|<\epsilon$$, o que prova a continuidade.
O início da solução do problema dá um salto, não dá para entender como saiu da premissa do enunciado até o primeiro passo.