Equações e Sistemas – Questão 28

A coleção de selos de Roberto está dividia em 3 volumes. Dois décimos do total de selos estão no 1º volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?

Solução:

Se $$x$$ é o número de selos de roberto, a equação que representa a distribuição dos selos entre os volumes é

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$$x=\frac{2x}{10}+\frac{y}{7}x+303,$$

em que $$y$$ é o número de “sétimos” em que foi dividida a segunda parte. Da equação anterior, podemos escrever

$$\frac{8x}{10}=\frac{y}{7}x+303⟹$$

$$\frac{8x}{10}-\frac{y}{7}=303⟹$$

$$\frac{x(56-10y)}{70}=303⟹x=\frac{303\cdot 70}{56-10y}.$$

Decompondo os números da fração em fatores primos, teremos

$$x=\frac{101\cdot 3\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{7\cdot 8–2\cdot y}.$$

Como $$x$$ é um número positivo, só podemos ter $$y\in \{1,2,3,4,5\}$$. Além disso, como $$x$$ é inteiro, precisamos escolher $$y$$ nesse conjunto, de modo que a divisão seja entre números inteiros. Ao listarmos os possíveis denominadores a partir de $$y$$, temos o conjunto $$\{6,16,26,36,46\}$$. Como o numerador é $$70\cdot 303=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 101$$, o único número do conjunto de denominadores que divide esse numerador é o $$6=56-10\cdot 5$$, de modo que $$y=5$$.

Assim, $$x=\frac{303\cdot 70}{6}=3535$$.