A coleção de selos de Roberto está dividia em 3 volumes. Dois décimos do total de selos estão no 1º volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?
Solução:
Se $$x$$ é o número de selos de roberto, a equação que representa a distribuição dos selos entre os volumes é
Veja mais exercícios resolvidos sobre Equações do 1º Grau!
\[x = \frac{2x}{10}+\frac{y}{7}x+303,\]
em que $$y$$ é o número de “sétimos” em que foi dividida a segunda parte. Da equação anterior, podemos escrever
\[\frac{8x}{10}=\frac{y}{7}x+303\Longrightarrow\]
\[ \frac{8x}{10}-\frac{y}{7}=303\Longrightarrow\]
\[\frac{x(56-10y)}{70}=303\Longrightarrow x = \frac{303\cdot 70}{56-10y}.\]
Decompondo os números da fração em fatores primos, teremos
\[x=\frac{101\cdot 3\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{7\cdot 8 – 2\cdot y}.\]
Como $$x$$ é um número positivo, só podemos ter $$y\in\{1,2,3,4,5\}$$. Além disso, como $$x$$ é inteiro, precisamos escolher $$y$$ nesse conjunto, de modo que a divisão seja entre números inteiros. Ao listarmos os possíveis denominadores a partir de $$y$$, temos o conjunto $$\{6,16,26,36,46\}$$. Como o numerador é $$70\cdot 303 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 101$$, o único número do conjunto de denominadores que divide esse numerador é o $$6=56-10\cdot 5$$, de modo que $$y=5$$.
Assim, $$x = \frac{303\cdot 70}{6}=3535$$.
