A colocação de um algarismo 3 à direita de um número equivaleu a aumentar esse número de 201 unidades. Qual é esse número?
Solução:
Um número é representado, na forma decimal, pelo somatório $$\sum_{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$$, com $$a_{i}\in\{0,1,…,9.\}$$. Como exemplo: $$243 = 2\cdot 10^{2}+4\cdot 10 + 3\cdot 10^{0}$$.
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Acrescentando o algarismo 3 à direita do número, passamos a ter $$\sum_{i=1}^{k}a_{i}10^{i}+3$$, que é igual ao número original + 201 unidades: $$\sum_{i=0}^{k}a_{i}10^{i}+201$$. Daqui, temos as seguintes igualdades:
$$3=a_{0}+1$$;
- $$a_{0}=a_{1}+0$$;
- $$a_{1}=a_{2}+2$$; e
- $$a_{j}=a_{j+1}$$, para $$j\in\{2,…k-1\}$$.
Da primeira equação, temos $$a_{0}=3-1=2$$; da segunda equação, temos $$a_{1}=a_{0}=2$$; da terceira equação, temos $$a_{2}=2-2=0$$; e ,da quarta equação, temos $$a_{j+1}=0$$, para todo $$j\in\{2,…,k-1\}$$. Logo, há apenas 3 algarismos no número original, e ele corresponde ao número 22.
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